Hovedindhold

Emne: (Grundlæggende algebra > Emne 7

Modul 6: Faktorisering af andengradspolynomier 2

Faktorisering med gruppering

Lær en faktoriseringsmetode kaldet "grupperingsmetoden"; For eksempel kan vi bruge gruppering til at skrive 2x²+8x+3x+12 som (2x+3)(x+4).

Hvad du skal vide til denne lektion

At faktorisere et polynomium betyder at skrive det som et produkt af to eller flere polynomier. Vi kan betragte det som det omvendte af at gange polynomier sammen.

Vi har set flere eksempler på faktorisering allerede. Til dette emne bør du dog især være fortrolig med at finde fælles faktorer ved at bruge den distributive lov. For eksempel:

6 x^{2} + 4 x = 2 x (3 x + 2)

Hvad du kan lære i dette modul

I denne artikel vil vi lære at bruge en metode kaldet gruppering.

Eksempel 1: Faktorisering af $2 x^{2} + 8 x + 3 x + 12$ ‍

Læg mærke til, at der ikke er nogen fælles faktor for leddene i

2 x^{2} + 8 x + 3 x + 12

. Men hvis vi grupperer de to første led og de to sidste led, så har hver gruppe sin egen SFF eller Største Fælles Faktor:

\underset{første gruppe}{\underset{⏟}{(2 x^{2} + 8 x)}} + \underset{anden gruppe}{\underset{⏟}{(3 x + 12)}}

SFF for den første gruppe er

2 x

, og SFF for den anden gruppe er

3

. Vi kan sætte disse faktorer uden for parentes, så vi får udtrykket:

2 x (x + 4) + 3 (x + 4)

For at faktorisere

2 x

ud fra

2 x^{2} + 8 x

, kan vi dividere hvert led med

2 x

Det første led bliver: $\frac{2 x^{2}}{2 x} = x$ ‍
Det andet led bliver: $\frac{8 x}{2 x} = 4$ ‍

Derfor er

2 x^{2} + 8 x = 2 x (x + 4)

For at faktorisere

3

ud fra

3 x + 12

, dividerer vi hvert led med

3

Det første led bliver: $\frac{3 x}{3} = x$ ‍
Det andet led bliver: $\frac{12}{3} = 4$ ‍

Derfor er

3 x + 12 = 3 (x + 4)

Derfor følger det, at

2 x^{2} + 8 x + 3 x + 12 = 2 x (x + 4) + 3 (x + 4)

. Ved at gange ud, kan vi hurtigt se, at de fælles faktorer er korrekte.

Læg mærke til, at der nu er endnu en fælles faktor for de to led:

x + 4

. Vi kan bruge distributive lov til at sætte denne fælles faktor udenfor parentes.

2 x (x + 4) + 3 (x + 4) = (x + 4) (2 x + 3)

Da polynomiet nu er udtrykt som et produkt af to toleddede udtryk, er det i faktoriseret form. Vi kan tjekke, at det er rigtigt ved at gange ud og sammenligne det med det oprindelige polynomium.

Eksempel 2: Faktorisering af $3 x^{2} + 6 x + 4 x + 8$ ‍

Lad os lige repetere, hvad der skete ovenfor, ved at faktorisere et nyt polynomium.

\begin{aligned} 3 x^{2} + 6 x + 4 x + 8 \\ = (3 x^{2} + 6 x) + (4 x + 8) & Gruppering af led \\ = 3 x (x + 2) + 4 (x + 2) & Sæt SFF udenfor parentes \\ = 3 x (x + 2) + 4 (x + 2) & Fælles faktor! \\ = (x + 2) (3 x + 4) & Faktorisér ud x + 2 \end{aligned}

Den faktoriserede form er

(x + 2) (3 x + 4)

Tjek din forståelse

1) Faktorisér $9 x^{2} + 6 x + 12 x + 8$ ‍.

2) Faktorisér $5 x^{2} + 10 x + 2 x + 4$ ‍.

3) Faktorisér $8 x^{2} + 6 x + 4 x + 3$ ‍.

Eksempel 3: Faktorisering af $3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8$ ‍

Du skal være ekstra opmærksom, når du bruger grupperingsmetoden til at faktorisere et polynomium med negative koefficienter.

For eksempel kan nedenstående trin bruges til at faktorisere

3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8

\begin{aligned} 3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8 \\ (1) & = (3 x^{2} - 6 x) + (- 4 x + 8) & Gruppering af led \\ (2) & = 3 x (x - 2) + (- 4) (x - 2) & Sæt SFF udenfor parentes \\ (3) & = 3 x (x - 2) - 4 (x - 2) & Reducer \\ (4) & = 3 x (x - 2) - 4 (x - 2) & Fælles faktor! \\ (5) & = (x - 2) (3 x - 4) & Faktorisér ud x - 2 \end{aligned}

Den faktoriserede form af polynomiet er

(x - 2) (3 x - 4)

. Vi kan gange de toleddede udtryk ud for at tjekke, at vi har gjort det rigtigt.

Nogle af trinene ovenfor kan virke anderledes, end hvad du så i det første eksempel, så måske har du nogle spørgsmål.

Hvor kom "+" tegnet mellem de to grupper fra?

I trin

(1)

, blev et "+" tegn sat mellem grupperne

(3 x^{2} - 6 x)

(- 4 x + 8)

. Det er fordi, det tredje led

(- 4 x)

er negativt, og det leds fortegn hører til gruppen.

At beholde minus-tegnet udenfor den anden gruppe er lidt tricky. For eksempel er en almindelig fejl at gruppere

3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8

som

(3 x^{2} - 6 x) - (4 x + 8)

. Hvis vi fjerner parenteserne i denne gruppering, får vi

3 x^{2} - 6 x - 4 x - 8

, hvilket ikke er det samme, som vi startede med.

Hvorfor faktorisere $- 4$ ‍ ud istedet for $4$ ‍?

I trin

(2)

, faktoriserede vi et

- 4

ud for at komme frem til en fælles faktor på

(x - 2)

mellem leddene. Hvis vi i stedet faktoriserede et positivt

4

ud, ville vi ikke få den fælles faktor, vi ser ovenfor:

$\begin{aligned} (3 x^{2} - 6 x) + (- 4 x + 8) & = 3 x (x - 2) + 4 (- x + 2) \end{aligned}$ ‍

Når det ledende led i en gruppe er negativ, skal vi ofte faktorisere en negativ fælles faktor ud.

Tjek din forståelse

4) Faktorisér $2 x^{2} - 3 x - 4 x + 6$ ‍.

5) Faktorisér $3 x^{2} + 3 x - 10 x - 10$ ‍.

6) Faktorisér $3 x^{2} + 6 x - x - 2$ ‍.

Udfordrende opgave

7) Faktorisér $2 x^{3} + 10 x^{2} + 3 x + 15$ ‍.

Hvornår kan vi bruge grupperingsmetoden?

Metoden kan bruges til at faktorisere polynomier, når der er en fælles faktor mellem grupperingerne.

For eksempel kan vi bruge grupperingsmetoden til at faktorisere

3 x^{2} + 9 x + 2 x + 6

, da det kan skrives på følgende måde:

$\begin{aligned} (3 x^{2} + 9 x) + (2 x + 6) & = 3 x (x + 3) + 2 (x + 3) \end{aligned}$ ‍

Vi kan dog ikke bruge grupperingsmetoden til at faktorisere

2 x^{2} + 3 x + 4 x + 12

, fordi hvis vi sætter SFF fra begge grupper udenfor parentes, får vi ikke en fælles faktor!

$\begin{aligned} (2 x^{2} + 3 x) + (4 x + 12) & = x (2 x + 3) + 4 (x + 3) \end{aligned}$ ‍

Brug af gruppering til at faktorisere tre-leddede polynomier

Du kan også bruge gruppering til at faktorisere nogle tre-leddede andengradspolynomier som

2 x^{2} + 7 x + 3

. Det kan vi, fordi vi kan skrive udtrykket som:

$2 x^{2} + 7 x + 3 = 2 x^{2} + 1 x + 6 x + 3$ ‍

Nu kan vi bruge gruppering til at faktorisere

2 x^{2} + 1 x + 6 x + 3

til

(x + 3) (2 x + 1)

For at lære mere om faktorisering af tre-leddede andengradspolynomier, tjek vores næste artikel.

Vil du deltage i samtalen?

Log ind

Sortér efter:

Ingen opslag endnu.

Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.

Grundlæggende algebra

Emne: (Grundlæggende algebra > Emne 7

Hvad du skal vide til denne lektion

Hvad du kan lære i dette modul

Eksempel 1: Faktorisering af 2x2+8x+3x+12‍

Eksempel 2: Faktorisering af 3x2+6x+4x+8‍

Tjek din forståelse

Eksempel 3: Faktorisering af 3x2−6x−4x+8‍

Tjek din forståelse

Udfordrende opgave

Hvornår kan vi bruge grupperingsmetoden?

Brug af gruppering til at faktorisere tre-leddede polynomier

Vil du deltage i samtalen?

Eksempel 1: Faktorisering af $2 x^{2} + 8 x + 3 x + 12$ ‍

Eksempel 2: Faktorisering af $3 x^{2} + 6 x + 4 x + 8$ ‍

Eksempel 3: Faktorisering af $3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8$ ‍