Lineære ligninger 1

Velkommen til Algebra: Lineære Ligninger 1. Lad os starte med nogle opgaver. Lad os sige, at vi har ligningen 5x er lig med 20. Det ser måske lidt mærkeligt ud, men hvis vi omskriver det, er det faktisk en ret nem opgave. Det er det samme som 5 gange "spørgsmålstegn" er lig med 20. Når vi skriver 5 foran x, betyder det, at vi ganger 5 med variablen. Der står altså 5 gange x. I stedet for et spørgsmålstegn skriver vi et x, så 5 gange x er lig med 20. Det kan vi regne i hovedet. Hvilket tal ganget med 5 er 20? Det tal må være lig med 4, men vi skal være systematiske, hvis det havde været mere kompliceret end 5. Vi har 5x er lig med 20. Vi kan gøre to ting, som er stort set er det samme. Vi kan dividere begge sider af ligningen med 5. Hvis vi gør det, går 5'erne ud, så er der kun x tilbage på venstre side. På højre side står der 20 divideret med 5, som er 4. Vi har lige løst den. Der er en anden måde, som næsten er det samme. 5x er lig med 20. I stedet for at dividere med 5 kan vi gange med 1/5. At gange med 5 og dividere med 1/5 er det samme, hvis du har lært at gange og dividere med brøker. Det giver det samme. 1/5 gange 5 er 1. Vi får igen, at x er lig med 4. Jeg bruger mest denne her, hvis det var en brøk i stedet for 5, så er det nemmere at gange med det omvendte. Lad os lave såden en opgave nu. Lad os sige, at jeg har -3/4x = 10/13. Det er en sværere opgave, som vi ikke kan løse i hovedet. Det er -3/4 gange et ukendt tal x er lig med 10/13. Hvis man spurgte nogen på gaden, ville de nok se helt forvirrede ud. Vi skal bruge algebra til at at løse det. Vi gør det samme. Vi ganger begge sider af ligningen med det omvendte af koefficienten for x. Koefficienten er svært ord for det som ganges med x. Hvad er det omvendte af -3/4? Det er -4/3. En prik svarer til et gangetegn. Man kan skrive gange på flere måder i algebra. Man kan også bruge et x for gange. x'et ligner jo det x vi bruger for den variable x. Det kan lede til misforståelser, så vi skriver enten en prik mellem 2 konstanter, eller vi skriver koefficienten lige foran den variable. Hvis vi ganger på venstre side med -4/3, så skal vi gøre det samme på højre side af ligningen. -4/3. På venstre side går -4/3 og -3/4 ud med hinanden. Man kan selv tjekke, at det giver 1. Tilbage har vi x er lig med 10 gange -4, som er -40. I nævneren står der 13 gange 3, som er lig med 39. Vi får, at x = -40/39. Jeg kan bedst lide at behold det som en uægte brøk, fordi det er nemmere at arbejde videre med, men vi kan omskrive det til et blandet tal, og så er det -1 og 1/39. Jeg foretrækker det dog sådan her. Lad os tjekke, om vi har regnet rigtigt. I algebra kan vi altid tjekke ved, at sætte resultatet ind i den oprindelige ligning og se om det passer. Den oprindelige ligning var -3/4 gange x, og vi indsætter vores løsning i stedet for x. Alle steder, hvor der står et x, indsætter vi løsningen -40/39. I den oprindelige ligning er det lig med 10/13. Når jeg skriver -3/4 udenfor parentesen, så er det endnu en måde at skrive gange på. Det er -3 gange -40. Måske er det smartere, hvis vi forkorter det først. De 4 i nævneren bliver til 1 og de 40 i tælleren bliver til 10. Husk, at når vi ganger brøker sammen, kan vi forkorte det på den måde. Det er +30, fordi vi har et minus to gange og 3 gange 10 er 30 over de 4 blev til 1, så det er 39. 30/39 kan forkortes ved at dividere tæller og nævner med 3, så får vi 10/13 som er det samme resultat, som vi fandt i den oprindelige ligning. Vi ved nu, at vi har det rigtige svar. Vi tager en opgave mere. -5/6 x = 7/8. Hvis du vil prøve at løse den selv, så er det et godt tidspunkt at trykke på pause, da jeg løser opgaven nu. Det er den samme type opgave. Hvad er den omvendte brøk af -5/6? Det er -6/5 og hvis vi ganger med det på venstre side, skal vi også gøre det på højre side af lighedstegnet. -6/5. På venstre side går -6/5 og -5/6 ud med hinanden. Der er kun x tilbage. På højre side kan vi dividere både 6 og 8 med 2. Det giver -3 og 4. 7 gange -3 er -21, og det er over 20. Lad os lige hurtigt tjekke, at det er korrekt. -5/6 gange -21/20. De 5 kan vi forkorte til 1, hvis vi skriver 4 her. Nævneren bliver 2, og tælleren bliver 7. Minus gange minus er plus, så det er 7. 2 gange 4 er 8. Det passer. Vi har regnet rigtigt. Nu er du vist klar til selv at løse nogle ligninger. God fornøjelse!