Introduktion til komplekse tal

I det meste af dit studie i matematik har du lært om reelle tal. Reelle tal inkluderer 0, 1 og 0,333..., pi og e, og jeg kunne blive ved med at nævne reelle tal. Disse tal er dem, der er velkendte for dig. Så gjorde vi noget spændende, da vi spurgte, hvad nu, hvis der er et tal, som kan kvadreres og give -1? Vi definerede den ting, som ganget med sig selv giver -1 som i. Vi definerede en hel ny kategori af tal, som du bør betragte som multipla af den imaginære enhed. Imaginære tal kan være i og -i og pi gange i og e gange i. Hvad sker der, når jeg kombinerer imaginære og reelle tal? Hvis man har tal, der er summen eller differensen af reelle og imaginære tal? For eksempel, jeg har tallet z -- z er en meget almindelig variabel, når vi snakker om komplekse tal -- z er lig med det reelle tal 5 plus det imaginære tal 3 gange i. Her har vi et reelt tal plus et imaginært tal. Du er måske fristet til at lægge dem sammen, men det kan du ikke. Det giver ikke mening. Vi vil visualisere det om et øjeblik, men du kan ikke reducere dette yderligere. Du kan ikke lægge det reelle tal til det imaginære tal. Et tal som dette med en reel del og en imaginær del kaldes et komplekst tal. Det har en reel del og en imaginær del. Du vil støde på denne notation Re(z), og nogen vil spørge, hvad er den reelle del? Hvad er den reelle del af det komplekse tal z? Den er 5. Så spørger de, hvad er den imaginære del Im(z) af det komplekse tal z? Typisk, når det er defineret således, så vil de vide, hvilket multiplum af i den imaginære del svarer til. Her bliver det 3. Vi kan visualisere det i to dimensioner. I stedet for et traditionelt Cartesisk koordinatsystem, med reelle tal på både den vandrette og den lodrette akse, når vi afbilder komplekse tal, så har vi den imaginære del på den lodrette akse og den reelle del på den vandrette akse. For eksempel, z er 5 + 3i. Den reelle del er 5, så vi går 1, 2, 3, 4, 5. Det her er 5. Den imaginære del er 3. Så 1, 2, 3. På det komplekse talplan kan vi visualisere dette tal, således. Sådan visualiseres z på det komplekse talplan. Det er 5, plus 5 i den reelle retning, plus 3 i den imaginære retning. Vi kan afbilde endnu et komplekst tal. Lad os sige, vi har det komplekse tal a, som er lig med -2 plus i. Hvor skal det afbildes? Den reelle del er -2 og den imaginære del svarer til plus 1i, så vi går en op. Det bliver lige her. Dette her er vores komplekse tal a i det komplekse talplan. Lad mig lave en mere. Lad os sige, vi har det komplekse tal b, som er 4 - 3i. Hvor skal det afbildes? 1, 2, 3 4 og lad mig se, -1,-2, -3 -3 er lige her. Dette er vores komplekse tal b.