Ligninger med rationale (brøk) udtryk

Vi har her en pæn lille ligning, der indeholder brøker. Jeg opfordrer dig til at sætte videoen på pause og se om du kan finde ud af, hvilke værdier af x der opfylder denne ligning. Okay, lad os løse den sammen. Det første jeg vil gøre, er at se, om dette kan reduceres ved at finde nogle fælles faktorer i tællerne og nævnerne eller på de to sider af ligningen. Lad os faktorisere tællerne og nævnerne. Højre side er allerede faktoriseret. Jeg kan omskrive denne tæller. Produktet af hvilke to tal er 21? Det er +21, så de skal have det samme fortegn. Når de lægges sammen får jeg -10. Det er -7 og -3. Dette kan omskrives til (x - 7) (x - 3). Begge disse kan dividers med 3. Dette kan omskrives til 3(x - 4). Disse er faktoriseret. Bemærk, at jeg nu har (x - 4) i nævneren både på venstre og højre side. Jeg kan gange begge sider med (x - 4). -- lad mig fjerne dette -- Jeg er ikke sikker på, at dette er bedre på faktorisret form. Jeg beholder det på udvidet form. Lad mig derfor strege det ud. Lad mig gange med (x - 4) på begge sider. Hvorfor gør jeg det? Det gør jeg for at fjene (x - 4) fra begge nævnere. -- (x - 4) og (x - 4) -- De går ud med hinanden. De går ud med hinanden. I tælleren har vi x² - 10x + 21 tilbage, som skal divideres med 3. Det er lig x - 5. Hvad kan vi nu gøre? Faktisk kunne jeg have gjort det i forrige trin. Multiplikation på begge sider med 3. -- jeg vælger lige en anden farve, så det bliver mere tydeligt -- Multiplikation på begge sider med 3. På venstre side går disse ud med hinanden og jeg har x² - 10x + 21 tilbage, da jeg har en nævner på 1. Det er lig med 3 gange x, som er 3x og 3 gange -5, som er -15. Nu kan jeg skrive dette på standard form ved at samle alle led på venstre side. Det gøres nemmest ved at trække 3x fra på højre side. Men jeg skal gøre det på begge sider, for at ligningen forbliver sand. Jeg vil fjerne -15, så jeg lægger 15 til på begge sider. Lad os gøre det. Tilbage har vi nu -- lad mig lige lave lidt plads -- x² - 13 x + 36 -- gjorde jeg det rigtigt? Ja + 36 -- er lig med 0. Vi har en andengradsligning på standard form. Hvordan kan vi løse den? Vi kan faktorisere. Produktet af 2 tal er 36, og når jeg lægger dem sammen får jeg -13. De er derfor begge negative, da de skal have det samme fortegn, så deres produkt er positivt. 9 og 4 ser ud til at passe, altså -9 og -4. (x - 4) (x - 9) er lig 0. Det sker, hvis x - 4 er lig 0 eller x - 9 er lig 9. Vi lægger 4 til på begge sider her og får x er lig 4. Vi lægger 9 til på begge sider her og får x er lig 9. VI kan sige, at løsningerne er x er 4 eller x er lig 9. Men vi skal passe på. Vi skal kigge på vores oprindelige udtryk. Da (x - 4) var en faktor i begge nævnere, hvis vi indsætter x - 4 i den oprindelige ligning, ikke i et af disse udtryk i midten, så ender vi med at dividere med 0 både her og her. Hvis jeg indsætter 4 i den oprindelige ligning, så giver den ikke mening. Dette er derfor en falsk løsning, der ikke er en løsning til den oprindelige ligning. Den eneste løsning er x er lig 9.