Fortolk ændring i eksponentielle modeller: Eksempler

Jeg har her nogle screenshots fra en øvelse på Khan Academy der hedder "Fortolk ændring i eksponentielle modeller." Lad os se, at komme i gang. På årets første forårsdag blomstrede træerne i en frugtplantage. En sværm af græshopper voksede mens den spiste løs af blomsterne. Sammenhængen mellem tiden t i dage siden forårets begyndelse, og det samlede antal græshopper L(t) -- så antallet af græshopper er er en funktion af antallet af dage siden begyndelsen af foråret -- kan modelleres med følgende funktion. Græshopper som en funktion af tiden er 750 gange 1,85 opløftet til t. Færdiggør følgende sætning om den daglige ændring af sværmens størrelse. Hver dag vil sværmens størrelse --lad os overveje, hvad der sker. Jeg laver lige en lille tabel, for at gøre det lidt mere tydeligt. Vi skriver t og L(t). Når t er 0, så vil der være gået 0 dage. Så det bliver 1,85 opløftet til 0, som er 1. Så der vil være 750 græshopper fra start. Når t er 1, hvad sker der så? Det bliver 750 gange 1,85 opløftet til 1. altså gange 1,85. Når t er lig 2, hvad er så L(t)? Det bliver 750 gange 1,85 opløftet til 2. Det er det samme som 1,85 gange 1,85. Bemærk derfor. Dette er altså en eksponentiel funktion. Hver dag bliver der 1,85 gange så mange som dagen før. Vi tager antallet fra dagen før og ganger det med 1,85. Da 1,85 er større end 1, så vokser antallet af græshopper. Sværmen vokser altså. Jeg er ikke på websiden lige nu, så der ville normalt være en valgmulighed. Sværmen vokser altså med en faktor på 1,85 hver dag. Lad os lave en anden. Okay, denne fortæller os, at Vera er en biolog, som i længere tid at studeret bestanden af bjørne i Sibirien. Sammenhængen mellem tiden t i år siden Vera begyndte sit studie og det samlede antal bjørne N(t) er modelleret med følgende funktion. Ok, godt nok. Vi har noget eksponentielt her. Færdiggør sætningen nedenfor om den årlige ændring af bjørne bestanden. Lad os tænke, for hvert år der går, og t er nu i år, for hvert år så bliver der 2/3 af , hvad der var året før. Jeg kan lave den samme tabel som før for at gøre det mere tydeligt. Det gør jeg lige. Her har vi t og her har vi N(t). Når t er 0, så er N(t) lig 2187 bjørne. Det er det første år, hvor hun fulgte bestanden. 0 år efter Vera begyndte sit studie. Det første år bliver der 2187 gange 2/3 opløftet til 1, så gange 2/3. Det andet år bliver der 2187 gange 2/3 opløftet til 2. Det er 2/3 gange 2/3. For hvert år bliver bestanden altså 2/3 af hvad den var året før. Du ganger det forrige år med 2/3. Hvert år falder bjørne bestanden med en faktor på 2/3. Ok lad os lave endnu en. Der står, at Akiba har holdt øje med hvordan antallet af grene på et træ har ændret sig med tiden. Okay. Sammenhængen mellem tiden t i år siden Akiba begyndte sine observationer og det samlede antal grene N(t) kan modelleres med følgende funktion. Færdiggør sætningen om den årlige procentvise ændring i antallet af grene. Hvert år lægges til eller trækkes fra blank procent grene til det samlede antal. Vi laver lige endnu en tabel, selvom du måske blot kan se på funktionen, at der hvert år bliver 1,75 gange så mange grene som året før. Vi har 1,75 gange det forgående års antal. Antallet er altså vokset med 75%. Hvert år bliver der lagt 75% grene til det det samlede antal. Jeg laver lige tabellen, som jeg gjorde i de to andre opgaver. Forhåbentligt bliver det helt tydeligt. Dette er t og dette er N(t). Når t er 0, så er der 42 grene. Når t er lig 1, så er der 42 gange 1,75. Når t er lig 2, så er der 1,42 gange 1,75 opløftet til 2. 42 gange 1,75 gange 1,75. Hvert år ganges med 1,75. Når du ganger med 1,75, altså vokser med en faktor på 1,75, så svarer det til at lægge 75% til. Du lægger altså 75% til. Tænk på det således, hvis du vokser med en faktor på 1, så lægger du ikke noget til, du er konstant. Hvis du vokser med 10%, så bliver du 1,1 gange større, Hvis du vokser med 200%, så bliver du 2 gange så stor. Dette lige her -- jeg lavede vist en fejl. Hvis du vokser med 200%, så bliver du 3 gange så stor. 1 er konstant og 200% yderligere vil være 2 gange mere, så du er i alt 3 gange så stor. Det skal du ikke blive forvirret af. Min hjerne indså, at jeg sagde noget sludder. Håber du syntes om videoen.