Hovedindhold

Emne: (Algebra 2 > Emne 8

Modul 4: Regel for ændring af logaritmers grundtal

Introduktion til ændring af grundtal i en logaritme

Lær at omskrive en logaritme til en logaritme med et andet grundtal. Dette er meget nyttigt, især når du skal udregne logaritmer med en lommeregner!

Hvad gør vi, hvis vi skal bestemme værdien af

\log_{2} (50)

? Da

2

skal opløftes til en irrational potens for at få

50

, kan vi ikke umiddelbart løse denne opgave uden en lommeregner.

De fleste lommeregnere kan kun udregne værdien af logartimer, hvor grundtallene er

10

e

. Derfor er det nødvendigt (i mange tilfælde) at ændre grundtal i udtrykket

\log_{2} (50)

, før vi kan udregne værdien.

Regel for ændring af grundtal

Vi kan ændre grundtallet i en logaritme ved at bruge følgende regel:

Noter:

Når du bruger denne regel, kan du vælge hvilken som helst værdi af $x$ ‍, når blot du husker:
alle argumenter i en logaritme skal være positive og grundtallet skal være et positivt tal forskelligt fra $1$ ‍!

Eksempel: Udregn $\log_{2} (50)$ ‍

Hvis formålet med at ændre grundtallet af en logaritme er at udregne dets værdi, så er det en fordel at vælge enten

10

eller

e

, da de fleste lommeregnere kan udregne disse. Tasterne log og ln.

Lad os ændre grundtallet af

\log_{2} (50)

til

10

Vi skal altså indsætte værdierne

b = 2

a = 50

x = 10

\begin{aligned} \log_{2} (50) & = \frac{\log_{10} (50)}{\log_{10} (2)} & Regel for ændring af grundtal \\ = \frac{\log (50)}{\log (2)} & Da \log_{10} (x) = \log (x) \end{aligned}

Vi kan nu bruge en lommeregner til at udregne værdien.

\frac{\log (50)}{\log (2)} \approx 5,644

Tjek din forståelse

Opgave 1

Udregn $\log_{3} (20)$ ‍.
Afrund dit svar til nærmeste tusindedele.

Opgave 2

Udregn $\log_{7} (400)$ ‍.
Afrund dit svar til nærmeste tusindedele.

Opgave 3

Udregn $\log_{4} (0, 3)$ ‍.
Afrund dit svar til nærmeste tusindedele.

Udledning af regel for ændring af grundtal

Nu tænker du måske, "Ok, men hvorfor virker denne regel?"

\log_{b} (a) = \frac{\log_{x} (a)}{\log_{x} (b)}

Lad os starte med et konkret eksempel og vise, hvorfor

\log_{2} (50) = \frac{\log (50)}{\log (2)}

Lad os definere

n

som værende lig med

\log_{2} (50)

og skrive ligningen

\log_{2} (50) = n

. Fra definitionen af logaritmer følger det, at

2^{n} = 50

. Nu kan vi løse denne ligning for

n

\begin{aligned} 2^{n} & = 50 \\ \log (2^{n}) & = \log (50) & Hvis A = B, så er \log (A) = \log (B) \\ n \log (2) & = \log (50) & 3. logaritmeregel \\ n & = \frac{\log (50)}{\log (2)} & Division på begge sider med \log (2) \end{aligned}

n

blev defineret som

\log_{2} (50)

, så har vi vist, at

\log_{2} (50) = \frac{\log_{x} (50)}{\log_{x} (2)}

Ved at bruge samme ræsonnement kan vi bevise reglen for ændre grundtal. Vi erstatter blot

2

med

b

50

med

a

og vælger ethvilket som helst grundtal

x

, som det nye grundtal!

Udfordrende opgaver

Udfordrende opgave 1

Udregn $\frac{\log (81)}{\log (3)}$ ‍ uden at bruge en lommeregner.

Udfordrende opgave 2

Hvilket udtryk er tilsvarende med $\log (6) \cdot \log_{6} (a)$ ‍?

Vil du deltage i samtalen?

Log ind

Sortér efter:

Ingen opslag endnu.

Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.

Algebra 2