Introduktion til division med polynomier

Vi er efterhånden fortrolige med begrebet et polynomium. Vi har brugt tid på at lægge polynomier sammen, trække polynomier fra hinanden og gange polynomier og faktoriserer polynomier. Hvad vi skal begynde at se på og tænke på i denne video er begrebet division af polynomier. For eksempel, jeg har polynomiet, et andengradspolynomium, x² + 3x + 2, som jeg skal dividere med x + 1. Sæt videoen på pause og tænk over, hvad det bliver? Hvad skal jeg gange x + 1 med for at få x² + 3x + 2? En tilgang er at faktorisere x² + 3x + 2 og det er noget vi har gjort utallige gange nu. Hvilke to tal har summen 3? Og hvis jeg ganger dem så får jeg 2? Dem, der springer i øjnene, er 2 og 1. Så vi kan skrive x² + 3x + 2 som (x + 2) gange (x + 1) over (x + 1). Hvis vi dividerer (x + 2) gange (x + 1) med (x + 1), hvad får vi så? Vi har blot x + 2 tilbage. -- du behøver ikke parentesen -- x + 2. Hvis vi vil være matematiske præcise, vil vi sige, at dette er sandt, så længe x ikke er lig med -1. Hvis x er lig med -1 i dette udtryk eller dette udtryk, så vil vi dividere med nul. Det giver alle mulige matematiske problemer. Men for alle andre værdier af x, når bare vi ikke dividerer med nul, så er dette udtryk det samme som x + 2, og det er fordi (x + 2) gange (x +1) er lig med, hvad vi har i tælleren. Når vi går mere i dybden med division med polynomier, skal vi se på ting, der ikke er så nemme, at man blot kan brug faktorisering. Vi skal lære metoden lang division med polynomier. også kaldet algebraisk lang division. Hvis det lyder velkendt, så er det fordi du lærte lang division i fjerde eller femte klasse. Metoden ligner meget. Du tager x + 1 og dividere det op i x² + 3x + 2. Jeg vil lave et hurtigt eksempel her, men vi skal se mere detaljeret eksempler i andre videoer. Du finder højestegradsleddet. Jeg har et første gradsled og jeg har et andengrads led. Hvor mange gange går x op i x²? Det gør det x gange. Du putter x på førstegrads-pladsen og så ganger du x gange (x +1). x gange x er x². x gange 1 er x. Så trækker du dette fra. Du kan måske allerede begynde at se det ligner lang division, som du lærte for mange år siden. Når du gør det, så går disse ud med hinanden 3x - x, vi har 2x tilbage. Så tager du 2 ned, 2x + 2, hvor mange gange går x op i 2x? Det gør det 2 gange. Så du har +2 her. 2 gange x + 1. 2 gange x er 2x. 2 gange 1 er 2. Du trækker dem fra hinanden og du har ingenting tilbage 2 minus 2 er 0. 2x minus 2x er 0. Her gik divisionen op, og vi får x + 2, som er præcis, hvad vi fik her over. En interessant situation, som vi skal se på i andre videoer, er hvad hvis divisionen ikke går op? Hvis jeg nu lægger 1 til x² + 3x + 2, så får jeg x² + 3x + 3. Hvis jeg prøver at dividere det med x + 1, så vil det ikke går op uanset metoden. Vi ved, vi kan faktorisere x² + 3x + 2 så er dette det samme som x² + 3x + 2 + 1 over (x + 1). og dette er så det samme som x² + 3x + 2 over (x +1) plus 1 over (x + 1). Og vi har allerede fundet ud af, at dette udtryk til venstre så længe x ikke er lig med -1, er x + 2. Dette er lig med x + 2, men vi har 1, som vi ikke kan dividere med x + 1, så vi har 1 over (x + 1). Vi vil se nærmere på dette i andre videoer. Hvad betyder denne rest? Hvordan udregner vi den, hvis vi ikke kan faktorisere noget af det vi har i tælleren? Når vi laver lang division med polynomier, så vil vi opdage at resten vil dukke op, når vi er færdige med at dividere. Vi vil se på sådanne eksempler i andre videoer.