Division af andengradspolynomier med lineære udtryk (ingen rest)

Lad os sige nogen kommer hen til dig på gaden og giver dig dette udtryk x² + 7x +10 divideret med x + 2. De spørger, om du kan reducere det. Sæt videoen på pause, og se om du kan gøre det. Det svarer til at sige, hvad er x² + 7x + 10 divideret med x + 2? Hvad bliver det? Der er to måde at gribe dette an på. Den ene måde er at faktorisere tælleren og se om den har en fælles faktor med nævneren. Så lad os prøve det. Vi har gjort det mange mange gange før, hvis det ser nyt ud, så opfordrer jeg dig til at gennemgå faktorisering af polynomier andre steder på Khan Academy. Hvilke to tal har summen 7 og produktet 10? Det er 2 og 5. Vi kan omskrive tælleren til (x + 2) (x + 5). I nævneren vil du stadig have x + 2. Nu kan vi tydeligt se, at der er en fælles faktor. Så længe x ikke er lig med -2, fordi hvis x er lig med -2, så er hele udtrykket ikke defineret, da du ikke kan have 0 i nævneren. Så længe x ikke er lig med -2, så kan vi dividere tælleren og nævneren med x + 2. Lige igen, grunden til denne betingelse er, at vi ikke kan dividere tæller og nævner med nul. For alle andre værdier af x, så vil x + 2 være forskellig fra 0. Vi kan dividere tælleren og nævneren med det og de vil gå ud med hinanden. Tilbage har vi x + 5. Dette oprindelige udtryk svarer til x + 5 for alle x forskellig fra -2. Den anden måde at gribe det an på er med algebraisk lang division. Det er meget lig almindelig lang division, som du husker fra fjerde klasse, tror jeg. Du skal dividere x² + 7x + 10 med x + 2. Her kigger du på højestegradsleddene. Du har x her og x² der. Hvor mange gange går x op i x²? Det gør det x gange. Det skriver du i denne kolonne, fordi x svarer til x¹. Dette svarer til første grads kolonnen. Det er ligesom for pladsværdier, når vi bruger tal. Men her bruges potens-pladser eller noget i den retning. Du tager dette x og du ganger det med hele dette udtryk. x gange 2 er 2x. Det sætter du i kolonnen for x. x gange x er x². Dernæst skal vi trække det i gult fra det vi har i blåt. Det kan vi gøre således. Det vi har tilbage er 7x + 2x er 5x. x² - x² er 0. Så trækker vi +10 ned. Igen vi kigger på højestegradsleddet. x går op i 5x 5 gange. Det er i 0'te potens. Det er en konstant, så den går i kolonnen for konstanter. 5 gange 2 er 10. 5 gange x er 5x. Så trækker jeg fra. Bemærk ingen rest. Det der er smart ved algebraisk lang division, og det kommer vi til at se i andre videoer, er at du kan have en rest. Der vil være opgaver, hvor faktorisering alene ikke virker. I denne opgave var den første metode nemmere, men dette er en anden måde at gøre det på. Du kan sige (x + 2) gange (x + 5) er lig med dette. Hvis du vil omskrive udtrykket, som vi gjorde her og sige, at udtrykket er lig med x + 5, så skal vi lave en betingelse for definitionsmængden. For alle x forskellig fra -2, der er disse to udtryk lig hinanden.