Hovedindhold

Emne: (Algebra 2 > Emne 3

Modul 2: Største Fælles Faktor (SFF)

Største fælles faktor for ét-leddede størrelser

Lær at finde SFF (største fælles faktor) af to eller flere ét-leddede størrelser.

Hvad du bør have kendskab til, inden du begynder dette modul

En ét-leddet størrelse er et udtryk, som kan bestå af enten en konstant (et tal), en variabel, f.eks.

x

, opløftet i en potens, eller en kombination af de to, f.eks.

3 x^{2}

. Et polynomum (fler-leddet udtryk) er et udtryk, som består af en sum af ét-leddede størrelser.

En fuldstændig faktorisering af en ét-leddet størrelse betyder, at det skrives som et produkt af dets primtal samt alle variable skrevet hver for sig. Tjek artiklen Faktorisering af ét-leddede størrelser , hvis dette er nyt for dig.

Hvad skal vi lære i dette modul?

I dette modul skal vi lære at bestemme den største fælles faktor (SFF) i ét-leddede størrelser (eller udtryk).

Største fælles faktor for heltal

Den største fælles faktor for to tal er det største heltal, som er en faktor for begge tal. For eksempel SFF for

12

18

6

Den mest troværdige metode til at bestemme SFF for to tal er at foretage en primfaktorisering af begge tal:

$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$ ‍
$18 = 2 \cdot 3 \cdot 3$ ‍

Både

12

18

har én faktor på

2

og én faktor på

3

. Derfor er SFF for

12

18

produktet af disse faktorer:

2 \cdot 3 = 6

Største fælles faktor for ét-leddede størrelser

Det er samme princip, der skal bruges, når du skal bestemme største fælles faktor for to eller flere ét-leddede størrelser.

Lav en fuldstændig faktorisering af hvert ét-leddet størrelse. SFF er produktet af de fælles faktorer.

Lad os bestemme største fælles faktor for

10 x^{3}

4 x

$10 x^{3} = 2 \cdot 5 \cdot x \cdot x \cdot x$ ‍
$4 x = 2 \cdot 2 \cdot x$ ‍

Både

10 x^{3}

4 x

har faktoren

2

og faktoren

x

tilfælles én gang. Derfor er deres største fælles faktor

2 \cdot x

, altså

2 x

Tjek din forståelse

1) Hvad er den største fælles faktor for $9 x^{2}$ ‍ og $6 x$ ‍?

2) Hvad er den største fælles faktor for $12 x^{5}$ ‍ og $8 x^{3}$ ‍?

3) Hvad er den største fælles faktor for $5 x^{7}$ ‍, $30 x^{4}$ ‍ og $10 x^{3}$ ‍?

Huskeregel for den variable del af SFF

Generelt gælder, at den variable del af SFF for to eller flere ét-leddede størrelser er lig med den variable del af det udtryk, hvor variablen har den mindste eksponent.

Lad os bestemme SFF for

6 x^{5}

4 x^{2}

Da $x$ ‍ opløftet til den laveste potens i de to udtryk er $x^{2}$ ‍, så er det én af de SFF.
Dernæst bestemmes SFF for $6$ ‍ og $4$ ‍ til at være $2$ ‍, som multipliceres med $x^{2}$ ‍ og SFF for de to størrelser er $2 x^{2}$ ‍.

\begin{aligned} SFF for 6 og 4 er 2 & Laveste potens i x^{5} og x^{2} er x^{2} \\ ↘ & ↙ \\ SFF (6 x^{5}, 4 x^{2}) = 2 & x^{2} \end{aligned}

Denne huskereglen er især god at kende, når man skal bestemme SFF for ét-leddede størrelser, hvor

x

er opløftet til en meget stor potens. Det vil tage meget lang tid at skrive en fuldstændig faktorisering af

32 x^{100}

16 x^{88}

Udfordrende opgaver

4*)Hvad er den største fælles faktor for $20 x^{76}$ ‍ og $8 x^{92}$ ‍?

5*) Hvad er den største fælles faktor for $40 x^{5} y^{2}$ ‍ og $32 x^{2} y^{3}$ ‍?

Lad os første faktorisere både

40 x^{5} y^{2}

32 x^{2} y^{3}

fuldstændigt.

$40 x^{5} y^{2} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y$ ‍
$32 x^{2} y^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y \cdot y$ ‍

Begge udtryk har faktoren

2

tilfælles tre gange, faktoren

x

tilfælles to gange og faktoren

y

tilfælles én gang. Derfor er største fælles faktor

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y

, altså

8 x^{2} y^{2}

Hvis vi havde brugt huskereglen om variable, så er

x^{2}

x

opløftet til laveste potens i de to udtryk. Ligeledes er

y^{2}

y

opløftet til den laveste potens i de to udtryk. SFF for den variable del af udtrykkene er derfor

x^{2} y^{2}

. SFF for

40

32

8

, så SFF for de to udtryk er

8 x^{2} y^{2}

Hvad er næste skridt?

Hvis du vil lære, hvordan vi bruger disse regler til at faktorisere polynomier, så læs den næste artikel Faktorisering af polynomier ved at finde fælles faktorer!

Vil du deltage i samtalen?

Log ind

Sortér efter:

Ingen opslag endnu.

Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.