Introduktion til spejling af funktioner

Her har du et screenshot fra Desmos, en online grafregner. Du kan bruge den på desmos.com og det opfordrer jeg dig til at gøre efter denne video eller mens du ser denne video. Formålet med denne video er at lære om at spejle funktioner. Lad os starte med nogle eksempler. Lad os sige jeg har funktionen f(x) som er lig med kvadratroden af x. Den ser således ud. Så langt så godt. Lad os lave endnu en funktion g(x), som jeg starter med også, at skrive som kvadratroden af x. Ingen overraskelser her, g(x) ligger ovenpå f(x). Hvad sker der hvis i stedet for kvadratroden af x, vi skriver et minustegn foran, lige her? Hvad tror du så der vil ske? Lad os prøve. Når jeg indsætter et minustegn, så ser det ud som om grafen er vendt over x-aksen. Grafen ser ud til at være spejlet i x-aksen. Hvad hvis vi havde endnu en funktion h(x), som vi starter med at lave magen til f(x). Igen, så ligger den overpå f(x). I stedet for at sætte minustegnet foran rodtegnet, hvad sker der, når jeg putter det under rodtegnet? Hvis jeg erstatter x med -x. Hvad tror du så, der vil ske? Lad os prøve. Hvis vi indsætter -x, så vendes grafen over y-aksen. Så videopen på pause, og tænk over, hvordan du vender den over begge akser. Vi er vist ved at løbe tør for bogstaver. Vi kan lave en k(x) med et minustegn udenfor rodtegnet og et minustegn under rodtegnet. Se, hvordan den vendes over begge akser. Den er vendt over x-aksen og y-aksen og ender her. Hvorfor gør den det? Lad os starte med g(x). Når du putter et minustegn foran, så bliver alt, hvad der kommer ud af funktionen, for hele definitionsmængden, lavet til det omvendte. Når x er 0, får vi 0. Når x er 1 så får man i stedet for 1, det omvendte, altså -1. Når x er 4, i stedet for +2, så får vi -2. Når x er lig 9, i stedet for +3, så får vi -3. Forhåbentlig giver det mening, at når man putter et minustegn foran hele udtrykket, så vendens grafen over x-aksen. Hvad sker der, når vi erstatter x med -x? Man kan se, at når man før puttede 1 ind, så putter man nu -1 ind. Når du prøver at udregne kvadratroden af -1, så er den ikke defineret. Men når x er lig -1, så var den oprindelige funktion ikke defineret, men vi kan tage det negative af -1, og så tage kvadratroden af 1. Den er defineret. Hvad end værdi funktionen ville have været for et givet x, så får vi den værdi med det omvendte x. Det er derfor den er vendt over y-aksen. Dette er sandt for mange typer af funktioner. Vi kan gøre det samme med en anden type af funktion. Lad os prøve med e˟. Sådan Vi har en klassisk eksponentiel funktion. Lad os sige at g(x) er lig -e˟. Så vi vil forvente, at den vendes over x-aksen. Så -e˟ og det er præcis, hvad der sker. Hvordan vender vi den over y-aksen? Lad os lave h(x). Den bliver så lig med e opløftet til -- i stedet for at skrive x, så skriver vi -x -- til -x. Sådan. Bemærk, hvordan den er vendt over y-aksen. Begge de eksempler jeg brugte er meget enkle udtryk. Lad os forestille os noget mere kompliceret. Lad os sige f(x) -- lad os lave et skønt polynoium af en højere grad -- er lig med x³ - 2x². Det er en pæn en. Lad os lige tilføje endnu et led. +2x, nej -2x. Jeg vil gerne have fremhævet nogle buer. Sådan, en temmelig interessant graf. Hvordan vender jeg den over x-aksen? Det kan jeg gøre ved at definere g(x) på to måder. Jeg kan sige at g(x) er lig -f(x), og vi får dette. Det svarer til at tage hele dette udtryk og gange med -1. At gange den med -1 svarer til, at vende den over x-aksen. Man kan også skrive - (x³ - 2x² - 2x) Når vi lukker parentesen, så får vi samme effekt. Hvad hvis vi vil vende den over y-aksen? I stedet for at putte minustegnet foran hele udtrykket, så skal vi erstatte alle x'er med -x. Det kan du gøre således, du kan sige, det er f(-x) og det giver den effekt, at de steder du før så x, skal du nu skrive -x. Og se, det gik som vi havde forventet. Den blev vendt over y-aksen. Vi kunne også have gjort det ved -- lige for en god ordens skyld -- at skrive (-x)³ - 2(-x)² - 2(-x), som vi naturligvis kan omskrive. Det giver det samme. Hvis vi vil vende den over både x- og y-aksen -- ja vi har allerede vendt den over y-aksen -- så lad os vende den over x-aksen -- ups kom lige til at slette den -- så lad os vende den over x-aksen, som vi kan gøre ved at putte et minustegn foran. Et minustegn foran, sådan. Den er nu vendt over både x- og y-aksen. Du kan gøre dem i vilkårlig rækkefølge og du vil få denne grønne graf. En nemmere måde at skrive det på er at skrive -f(-x). Det giver nøjagtig det samme. Så gå ind på Desmos og leg lidt, så du kan få en bedre fornemmelse for, hvad der sker her.