Skalering af funktioner: Introduktion

Dette er et screenshot fra Desmos, som er en online grafregner. Vi skal bruge den til at forstå, hvordan man skalerer funktioner. Jeg opfordrer dig til selv at prøve enten undervejs eller bagefter. Lad os starte med en dejlig spændende funktion. Lad os sige, at f(x) er lig den numeriske værdi af x. Det er lige ud af landevejen. Lad os nu forsøge at lave en skaleret version af f(x). Vi kan sige, at g(x) er lig -- i første omgang den numeriske værdi af x -- så den er det samme som f(x), og g(x) lige ovenpå f. Men lad os nu gange den med en konstant. Lad os gange den med 2. Bemærk forskellen mellem g(x) og f(x). Du kan se, at g(x) er 2 gange f(x). Vi kan skrive den på den måde. Vi kan skrive g(x) som 2 gange f(x), og vi får den samme graf. Du kan se, når x stiger, så vokser g(x) dobbelt så hurtigt. Når x mindskes, så vokser g(x) også dobbelt så hurtigt. Er det blot et tilfælde, at vi har 2 her og den vokser dobbelt så hurtigt? Lad os indsætte 3 her. Nu vokser den 3 gange så hurtigt, og det gør den i begge retninger. Hvad hvis vi indsætter 0,5 her? Nu kan vi se den vokser halvt så hurtigt. Det giver mening, fordi når vi ganger, så skalerer vi vores f(x). Før når x var lig 1, så fik vi 1, men nu, når x er lig 1, så får vi kun det halve. Før når x var lig 5, så fik vi 5, men nu når x er lig 5, så får vi kun 2,5. Vi vokser halvt så hurtigt. Vi har altså en hældning, der er halvt så stor. Her er et interessant spørgsmål at tænke over. Hvad sker der, hvis vi i stedet for blot den numeriske værdi af x, vi har skæring med y-aksen, der ikke er 0? Lad os sige den er +6, Bemærk, når vi ændrer denne konstant foran så ændrer vi ikke kun hældningen, men også skæring med y-aksen, fordi vi ganger hele udtrykket med 0,5. Hvis vi ganger med 1, så er vi tilbage i den oprindelige graf. Når vi ganger med 2, så bør skæring med y-aksen stige, fordi vi ganger begge disse led med 2. Og det ser vi også. Hældningen fordobles, men skæring med y-aksen stiger også. Hvis vi går til 0,5, så bliver hældningen mindsket med en faktor på 0,5, eller hældningen bliver ganget med 0,5, men skæring med y-aksen bliver også halvt så stor. Vi kan se det generelt, hvis vi indsætter en generel konstant. Lad os tilføje en glideknap med en konstant fra 0 til 10 med spring på 0,05. Det er hvor meget konstanten ændres hver gang du ændrer på knappen. Bemærk, når vi øger konstanten, så bliver den ikke kun smallere, fordi hældningen bliver skaleret, men vores skæring med y-aksen stiger også. Når k mindskes, så flyttes skæring med y-aksen ned og hældningen skaleres ned. Det er en måde at skalere på, men hvad nu hvis vi i stedet for at gange hele funktionen med en konstant, vi erstatter x med en konstant gange x. I stedet for k gange f(x), hvad hvis vi har f(kx)? g(x) er lig med den numeriske værdi af kx plus 6. Hvad tror du der vil ske? Sæt videoen på pause og tænk over det. Når vi nu øger k, så bemærk, hvordan der ikke er nogen ændring i skæring med y aksen, da skæringen med y-aksen ikke skaleres. Men der er en ændring i hældningen. Når k går fra 1 til 2, så har vi igen en hældning, der er dobbelt så stor og når k går fra 1 til 0,5, så er hældningen halvt så stor. Dette er en numerisk værdi funktion, hvad hvis vi vælger en anden type af funktion? Lad os sige en andengradsfunktion. 2 - x² -- lad mig lige rulle nedad -- Du kan se, når k er lig 1, så er de ens. Når vi øger k til 2 bemærk, hvordan parablen bliver mindre, når vi kommer længere og længere fra nul men hurtigere og hurtige. Det er fordi, hvad du før så ved x er 2, ser du nu ved x er 1, da du ganger med 2. Når k er mellem 0 og 1 bemærk hvordan parablen på begge sider af 0 aftager langsommere. Den ændrer hældning, men langsommere, kan vi vist sige. Vi kan også se, hvad der sker med parablen hvis vi i stedet for kx igen putter k ud foran. Hvad sker der så? Bemærk, dette ændrer ikke kun, hvor hurtigt kurven ændres ved forskellige punkter, men det ændrer også skæring med y-aksen, da vi nu skalerer skæring med y-aksen. Vi stopper her, men dette er blot begyndelsen til skaleringer, men jeg vil have du får en god fornemmelse for hvad der sker her og tænker over hvorfor det matematisk giver mening. Gå ind på Desmos og leg selv med det og prøv også med andre typer af funktioner og se, hvad der sker.