Ligningen for en trigonometrisk funktion ud fra grafen

Skriv forskriften for funktionen f(x), der er tegnet nedenfor. Vi har tydeligvis en periodisk funktion. Du siger nok med det samme, at det enten er en sinus eller cosinusfunktion. Men neutrallinjen ligger ikke, hvor den plejer i en simpel sinus eller cosinusfunktion. Vi kan se at neutrallinjen er halvvejs mellem dette maksimumpunkt og dette minimumpunkt. Dette maksimumpunkt ligger ved y er lig 1. Dette minimumpunkt ligger ved y er lig -5. Halvvejs mellem disse er gennemsnittet af 1 og -5, så 1+ (-5), som er -4. Divideret med 2 er -2. Dette her er neutrallinjen, der har ligningen y er lig -2. Grafen er tydeligvis flyttet nedad. Jeg vil snakke mere om, hvilken type af udtryk dette kan være. Men lad os lige kigge på amplituden. Amplituden er hvor meget den varierer fra neutrallinjen. Den er 3 over neutrallinjen. Den går fra -2 til 1, altså 3 over neutrallinjen ved maksimumpunktet. Den er 3 fra neutrallinjen ved minimumpunktet. Så den har tydeligvis en amplitude på 3. Vi kan derfor sige, at f(x) skal være noget med en amplitude på 3. Vi har endnu ikke fundet ud af, om dette er en cosinus eller sinusfunktion. Jeg skrive cosinus først. Cosinus - måske - en koefficient gange x plus neutrallinjen. VI har allerede fundet frem til, at den er ved -2. Den kan være på denne form eller den kan være f(x) er lig 3 gange sin(kx) - 2. Hvordan finder vi ud af, hvilken af disse det er? Lad os se på funktionens opførelse, når er lig 0. Når x er lig 0, så bliver kx, inputtet i cosinus lig 0. Cosinus til 0 er 1. Uanset om du bruger grader eller radianer. Cosinus til 0 er 1. Hvorimod for sinus når x er 0, så bliver k gange 0 lig 0, og sinus til 0 er 0. Hvad gør denne tingest, når x er lig 0? Når x er lig 0, så er vi på neutrallinjen. Når vi er på neutrallinjen, så er alt dette her lig 0. Når alt dette bliver 0, når x er 0, så kan vi se bort fra en cosinusfunktion. Når x er lig 0, så er dette ikke lig 0. Vi kan derfor se bort fra denne her. Vi har denne tilbage. Nu skal vi finde ud af, hvad denne konstant er. Lad os se på funktionens periode. Hvis vi går fra dette punkt, hvor vi skærer neutrallinjen og vi har en positiv hældning, så er det næste punkt, hvor det sker, lige her. Så perioden er 8. Hvilken koefficient skal vi have for at perioden af denne tingest bliver lig 8? Lad os lige minde os selv om, hvad perioden af sin(x) er. Perioden af sin(x) er 2π. Når du øger vinklen med 2π radianer, eller mindsker den, så er du tilbage i det samme punkt på enhedscirklen. Hvad kan perioden af sin(kx) være? Dit input stiger k gange hurtigere, så du kommer til det samme punkt k gange hurtigere. Derfor bliver perioden 1/k lang. Din periode bliver 2π/k. Når x stiger, så vokser argumentet, det der indsættes i sinusfunktionen, k gange hurtigere. Du ganger det med k. Derfor bliver perioden kortere. Det tager mindre afstand for argumentet at komme hen til det samme punkt på enhedscirklen. Man kan også sige, hvis 2π/k er lig 8, hvad er så k? Vi tager det reciprokke på begge sider. Vi får k/2π er lig 1/8. Ganger begge sider med 2π. Vi får k er lig med π/4. Og vi er færdige. Du kan tjekke dette ved at prøve nogle af disse punkter. Funktionen er lig 3∙sin(π/4 x) - 2.