Amplitude & periode i trigonometriske funktioner ud fra forskriften

Vi skal bestemme amplituden og perioden af y = -½ cos(3x). Først skal vi lige minde os selv om hvad amplitude betyder? Amplituden af en periodisk funktion er den halve forskel mellem funktionens minimum og maksimum værdier. Når jeg tegner en periodisk funktion, så går den frem og tilbage mellem to værdier. Mellem den værdi og den værdi. Du udregner forskellen mellem de to og halvdelen svarer til amplituden. Eller man kan sige, at amplituden svarer til ændringen i forhold til midterværdien. Lige her har vi y = -½ cos(3x). Hvilken amplitude har den? Det nemmeste er at se, hvad cosinusfunktionen er blevet ganget med. Du kan gøre det samme for en sinusfunktion. Vi har ganget med -1/2. Amplituden bliver derfor den numeriske værdi af -1/2, som er 1/2. Hvorfor kan vi se bort fra fortegnet? Hvorfor bruger vi den numeriske værdi? Det negative fortegn vender funktionen, men det ændrer ikke forskellen mellem minimum og maksimum. Hvorfor er det blot den numeriske værdi af denne tingest? Du skal huske på, at cosinus- eller sinusfunktionen varierer mellem +1 og -1. Hvis det blot er stamfunktionen. Nu ganges dette +1 eller -1. Når der ingen koefficient er her, altså når den er plus eller minus 1, så er amplituden blot 1. Nu hvor du har ændret det, altså ganget med denne størrelse, så er amplituden 1/2. Lad os se på perioden. Først, hvad menes med perioden i en cyklisk eller periodisk funktion? Hvad menes med perioden af en periodisk funktion? Jeg tegner lige nogle akser på denne graf. Lad os sige, at dette er y-aksen og dette er x-aksen. Perioden af en periodisk funktion svarer til længden af det mindste interval, der indeholder præcis en kopi af det gentagende mønster af den periodiske funktion. Hvad menes med det? Hvad bliver gentaget? Vi går ned og så op igen. Så går vi ned og op igen. I dette tilfælde er dette længden af det mindste interval, der indeholder præcis en kopi af det gentagende mønster. Dette er et gentagende mønster. Så denne længde mellem her og her er derfor en periode. Vi kan gå mellem her og her og have endnu en periode. Der er ikke kun ét mønster. Du kan vælge flere. Du kan sige, jeg vælger at mit mønster starter her og går op og så ned. Det er min korteste længde. Eller du kan gå i den negative retning. En anden version af det gentagende mønster er lige her. Uanset, så skal den samme længde bruges for hvert gentagende mønster. Med det sagt, hvad er perioden af denne funktion? Vi kan finde perioden ved at sige 2π divideret med den numeriske værdi af denne koefficient. Vi dividerer med den numeriske værdi af 3, som er 3. Vi får 2π/3. Lad os finde ud af, hvorfor det er sådan? En almindelige cosinus eller sinus funktion har perioden 2π. Når du starter ved 0 på enhedscirklen. og 2π radianer senere er du tilbage, hvor du startede. Går du endnu 2π er du igen tilbage, hvor du startede. Hvis du går i den negative retning, altså går -2π, så er du tilbage hvor du startede. For enhver vinkel gælder, hvis du går 2π, så er du tilbage, hvor du var før. Hvis du går -2π så er du tilbage hvor du var før. Disse har perioden 2π. Dette giver mening, da denne koefficient giver dig 2π, så meget hurtigere. Perioden bliver et mindre tal. Det tager mindre længde. Du får 2pi tre gange så hurtigt. Men hvorfor den numeriske værdi? Hvis dette var et negativt tal, så vil du få -2π hurtigere. Uanset retningen, så har du gennemført en cyklus. Med det sagt lad os visualisere disse to. Lad os tegne -1/2 cos(3x). Lad mig tegne mine akser. -- frihåndstegning -- Dette er y-aksen. Dette er x-aksen. Dette er 0. x er lig 0. Lad mig finde y er lig 1/2. Dette er y = +1/2. Funktionen ikke er forskudt op eller ned, da vi så ville have tilføjet en konstant udenfor cosinusfunktion. Dette er +½, som vi blot skriver som ½. Hernede er dette -½. Lad mig lige tegne det. Jeg laver disse stiplede linjer, så det bliver nemmere at tegne grafen. Hvad sker der, når denne er 0? cos(0) er 1. Men vi ganger med -1/2, så det bliver -1/2. Hvorefter den begynder at gå op. Den kan kun gå i den retning, da dette er grænsen. Den begynder at gå op og så går den ned igen og ender ved den oprindelige værdi. Hvad er denne afstand? Hvad er længden? Hvad bliver længden? Vi ved, hvad perioden er. Den er 2π/3. Den kommer til dette punkt 3 gange hurtigere end den normale cosinusfunktion. Så det bliver 2π/3. Hvis du går endnu 2π/3, så er den tilbage hertil. Hvis du gå endnu 2π/3, så du har gået 4π/3 og du har gennemført endnu en cyklus. Denne længde her er perioden. Du kan gøre det samme i den negative retning. Dette her er -2π/3. Vi kan se, at amplituden er 1/2. Vi kan se dette på to måder. Forskellen mellem maksimum og minium er 1. Det halve af 1 er 1/2. Eller du kan sige, at den går 1/2 væk fra midterpositionen i den positive eller negative retning.