Lineære ligninger og funktioner

Der er en proportional sammenhæng mellem to størrelser, hvis forholdet mellem dem altid er det samme. For eksempel, hvis $y$‍ er proportional til $x$‍, så fordobles $y$‍, når $x$‍ fordobles. Ligeledes, når $x$‍ bliver tre gange så stor, så bliver $y$‍ også tre gange så stor.

Løsninger til lineære ligninger er de $x$‍- og $y$‍-værdier, der gør ligningen sand. For eksempel $(2,7)$‍ er en løsning til ligningen $y=3x+1$‍. Når $2$‍ indsættes for $x$‍ og $7$‍ indsættes for $y$‍, så får vi den sande ligning: $7=3(2)+1$‍.

En linjes hældning fortæller noget om, hvor stejl linjen er. Hældningen er ændringen i $y$‍-koordinaterne divideret med ændringen i $x$‍-koordinaterne mellem to punkter på linjen.

Skæring med akserne sker, når linjen for en ligning krydser en af akserne. Skæring med $x$‍-aksen sker, når linjen krydser $x$‍-aksen og skæring med $y$‍-aksen sker, når linjen krydser $y$‍-aksen.

Linjens ligning skrives ofte på formen $y=ax+b$‍, hvor $a$‍ er linjens hældning og $b$‍ er skæring med $y$‍-aksen.

Når linjens ligning er skrevet på formen $y=ax+b$‍, afsætter vi først skæring med $y$‍-aksen, der svarer til værdien af $b$‍. Dernæst kan vi bruge hældningen $a$‍ til at afsætte flere punkter på linjen.

For at skrive linjens ligning på formen $y=ax+b$‍ skal vi kende to størrelser. Hældningen og skæring med $y$‍-aksen. Vi kan bruge to punkter på linjen til at beregne hældningen og dernæst et af disse punkter til at beregne skæring med $y$‍-aksen.

En funktion er en matematisk regel, der kobler et input til et og kun et output. Vi kan tænke på det som en maskine: kom et tal i den, maskinen udfører nogle beregninger, og ud kommer et tilhørende tal.

Input og output behøver ikke at være tal. Funktioner kan også være input og output i andre funktioner.

En funktion er en lineær funktion, når grafen for funktionen er en ret linje, der kan skrives på formen $y=ax+b$‍, hvor $a$‍ er hældningen og $b$‍ er skæring med $y$‍-aksen.

Vi kan sammenligne to lineære funktioner ved at kigge på deres hældning og skæring med $y$‍-aksen. Hvis de har samme hældning, er linjerne parallelle. Hvis hældningerne er forskellige, skærer linjerne i et punkt. Vi kan også sammenligne skæring med $y$‍-aksen og se, hvor linjerne krydser $y$‍-aksen.

Når vi skal lave en lineær model af et forhold mellem to størrelser, skal vi først bestemme hældningen og skæring med $y$‍-aksen for forholdet. Vi kan bruge observationer til at beregne begge dele ved at indsætte dem i ligningen med formen $y=ax+b$‍.

Lineære funktioner kan bruges til at modellere mange situtationer. For eksempel kan en virksomhed bruge en lineær funktion til at forudsige fremtidige salg baseret på salg fra tidligere år. En forsker kan bruge en lineær funktion til at modellere forholdet mellem to variabler i et eksperiment. Lineære funktioner kan også anvendes til beregning af renter eller afkast fra investeringer.