Enhedsforhold og proportionale sammenhænge

Både enhedsforhold og proportionalitet er vigtige begreber i matemtaik, der kan hjælpe os med at forstå sammenhængen mellem forskellige størrelser. Vi bruger begge begreber i hverdagen - for eksempel når vi sammenligner priser, når vi skal finde ud af, hvor meget af en ingredient der skal i en opskrift, eller når vi skal finde ud af, hvor hurtigt vi skal løbe for ikke at komme for sent i skole.

En proportionalitetskonstant er et tal der forbinder to størrelser, der er proportionale, til hinanden. Hvis $y$‍ er proportional til $x$‍, så kan vi skrive ligningen $y=kx$‍, hvor $k$‍ er proportionalitetskonstanten.

Proportionalitetskonstant er et andet navn for enhedsforholdet. Hvis Zach hopper i sjippetov med en konstant fart på $135$‍ hop for hver $3$‍ minutter, så kan vi skrive disse to enhedsforhold:

For at bruge det rigtige enhedsforhold, så skal vi vide hvad $x$‍ og $y$‍ står for i ligningen. Lad os antage, at $x$‍ står for antallet af minutter og $y$‍ står for antallet af hop, så skal vi bruge proportionalitetskonstanten $45$‍ hop per minut, altså det enhedsforhold, der har minutter i nævneren.

Prøv selv i øvelsen Sammenlign proportionalitetskonstanter.

Der er flere måder at se, hvorvidt to størrelser er proportionale med hinanden. Hvis forholdet mellem de to størrelser altid er det samme, eller hvis en graf, der afbilder de to størrelser, danner en ret linje, der går gennem origo (det punkt hvor både $x$‍ og $y$‍ er lig med $0$‍).

Prøv selv i øvelsen Genkend proportionale sammenhænge.

Man skriver en proportional sammenhæng ved at skrive et lighedstegn mellem de to enhedsforhold. For eksempel, så kan man skrive ${\displaystyle \frac{2}{4}}={\displaystyle \frac{6}{12}}$‍.

Når du skal løse opgaver med proportionale sammenhænge, så skal du typisk bestemme en ukendt værdi i et forhold. Hvis vi ved, at $8$‍ ud af $12$‍ appelsiner er modne, og vi skal finde ud af, hvor mange modne appelsiner, der er i en pose med $24$‍ appelsiner, så kan vi skrive: ${\displaystyle \frac{8}{12}}={\displaystyle \frac{x}{24}}$‍. Bemærk, hvordan vi skriver det samme forhold ${\displaystyle \frac{\text{modne appelsiner}}{\text{appelsiner i alt}}}$‍ på begge sider af lighedstegnet.

Dernæst løser vi ligningen med hensyn til $x$‍:

Hvis ligningen i stedet er skrevet med den ubekendte i nævneren, ${\displaystyle \frac{\text{appelsiner i alt}}{\text{modne appelsiner}}}$‍, så vil løsning af ligningen kræve et ekstra trin:

Prøv selv i øvelsen Løsning af ligninger med forhold.