Beregne en side med sinusrelationerne

Vi har her en trekant, hvor vi kender to af vinklerne og en af siderne. Jeg hævder nu, at jeg kan bestemme resten kun ud fra denne information. Givet 2 vinkler og en side, så kan jeg finde de andre 2 sider og jeg kan selvfølgelig også finde den tredje vinkel. Lad os prøve at gøre det. Det gøres ved at bruge noget, der hedder sinusrelationerne. I en anden video vil jeg bevise sinusrelationerne, mens jeg her blot vise dig, hvad du kan bruge dem til. Det er temmelig lige ud af vejen. Sinusrelationerne fortæller os, at forholdet mellem sinus til en vinkel og den modstående side er konstant for enhver vinkel i en trekant. For eksempel for denne trekant her, så er dette en 30°s vinkel. Dette er en 45°s vinkel. Vinkelsummer er 180°. Så den her skal være 180 - 45 - 30 Det er 180 - 75, så det er en 105°s vinkel. Lad mig lige mærke de forskellige sider. Lad mig kalde denne side a, den har længden a. Denne side har længden b. Sinusrelationerne fortæller os, at forholdet mellem sinus til en vinkel og den modstående side er en konstant for hele trekanten. Så det fortæller os, at sinus til denne vinkel, sin(30°) over længden af den modstående side, 2 er lig sin(105°) over længden af dens modstående side, a. som er lig sin(45°) over længden af dens modstående side, b. Hvis vi skal finde a, så kan vi løse denne ligning. Hvis vi vil løse for b, så kan vi sætte dette lig der her. Lad os løse hver af dem. Hvad er sin(30°)? Hvis du husker fra enhedscirklen, eller 30-60-90 trekanten, så er det 1/2. Hvis du ikke kan huske det, kan du bruge en lommeregner til at tjekke det. Jeg har allerede tjekket, at den er sat til grader, så det er 0,5. Det bliver 1/2 over 2. Man kan også sige, at det er lig 1/4. Denne del er 1/4, som er lig sin(105°)/a. Lad mig skrive det. 1/4 = sin(105°)/a. Vi kan også sige, hvis vi laver dem begge på en gang, at 1/4 = sin(45°)/b. sin(45°) er endnu en, der er nem at huske fra enhedscirklen. Du husker måske det er kvadratroden af 2 over 2. Lad os skrive det. √2 / 2. Og du kunne bruge en lommeregner, men du ville få et decimaltal her. Lad os løse for a og dernæst løse for b. Vi kan tage det reciprokke på begge sider af ligningen. Det reciprokke af 1/4 er 4. Det reciprokke af denne højre side er a / sin(105°). Vi isolerer a ved at gange på begge sider med sin(105°). Vi får 4 ∙ sin(105°) = a. Lad os finde vores lommeregner. 4 gange sin(105°) er omkring, afrundet til nærmeste hundrededel 3,86. a er omkring 3,86. Det ser rigtigt ud, hvis dette er 2 og vinklerne er nogenlunde ok, så ligner det 3,86. Lad os bestemme b. Vi kan igen tage det reciprokke på begge sider og vi får 4 = b/(√2 / 2). Vi ganger på begge sider med √2 / 2 Og vi får, at b = 4 ∙ √2 / 2. Eller b = 4 ∙ sin45°. Hvis vi ikke vil have et tal, så kan vi blot skrive 2 √2, men lad os finde ud af, hvad det er. 2 gange √2 er lig 2,83. b er omkring 2,83. Igen, 4 divideret med 2 er 2 gange kvadratroden af 2, som er omkring 2,83, hvis vi afrunder til nærmeste hundrededel. Hvilket også ser rimeligt ud. Fidusen med sinusrelationerne er, når du har 2 vinkler og 1 side, så kan du finde ud af alt andet. Eller når du har 2 sider og 1 vinkel, så kan du også finde ud af det hele om denne trekant.