Hovedindhold

Emne: (Geometri (Bibliotek) > Emne 13

Modul 3: Løs med hensyn til en ukendt side i retvinklede trekanter med trigonometri

Løs med hensyn til en ukendt side i en retvinklet trekant med trigonometri

Lær at bruge de trigonometriske funktioner til at bestemme en ukendt sidelængde i en retvinklet trekant.

Vi kan bruge de trigonometriske funktioner til at bestemme ukendte sider i en retvinklet trekant.

Lad os kigge på et eksempel.

Givet

△ A B C

skal vi finde længden af

A C

Løsning

Trin 1: Afgør hvilken trigonometrisk funktion, vi skal bruge.

Lad os tage udgangspunkt i vinkel $B$ ‍, da det er den, vi får oplyst størrelsen af i trekanten.

Den retvinklet trekant A B C er afbildet. Vinkel C er ret. Vinkel B er mærket 50 grader. Siden A C er mærket med et spørgsmålstegn. Siden B C er mærket 6.

Bemærk, at vi kender længden af $hypotenusen$ ‍, og vi bliver bedt om at finde længden af den $modstående side$ ‍ til vinkel $B$ ‍. Den trigonometriske funktion, som bruger de to sider, er sinus.
De tre trigonometriske forhold set ud fra vinkel $A$ ‍'s perspektiv, er vist nedenfor.
Den retvinklet trekant A B C er afbildet. Vinkel C er ret. Vinkel A er mærket med en dobbelt vinkelbue. Siden A B er mærket hypotenusen. Siden A C er mærket hosliggende. Siden B C er mærket modstående. Ved siden af trekanten er tre trigonometriske forhold vist. sinus til a er modstående over hypotenusen. cosinus til a er hosliggende over hypotenusen. tangens til a er modstående over hosliggende.
I disse formler er det vigtigt at huske, at ordene modstående side, hosliggende side og hypotenusen angiver længden af de sider, set ud fra den givne vinkel, i det her tilfælde vinkel $A$ ‍.
Vi kan bruge huskeregelen $Mod$ ‍ $Hos$ ‍ $Mod Hos$ ‍ for henholdsvis sinus, cosinus og tangens, som hjælpe med at huske forholdene.

Trin 2: Opstil en ligning ved at bruge forholdet for sinus og løs for den ukendte side.

$\begin{aligned} \sin (B) & = \frac{modstående side}{hypotenusen} Forhold for sinus \\ \sin (50^{\circ}) & = \frac{A C}{6} Indsæt værdierne. \\ 6 \sin (50^{\circ}) & = A C Gang begge sider med 6. \\ 4, 60 & \approx A C Udregn med en lommeregner. \end{aligned}$ ‍

Lav os prøve nogle øvelsesopgaver.

Opgave 1

Givet $△ D E F$ ‍ skal du finde længden af $D E$ ‍.
Afrund dit svar til nærmeste hundrededele.

Trin 1: Afgør hvilken trigonometrisk funktion, vi skal bruge.

Her får vi givet længden af siden, som er $hosliggende$ ‍ til vinkel $E$ ‍, og vi bliver bedt om at finde længden af $hypotenusen$ ‍. Den trigonometriske funktion, som bruger de to sider, er cosinus.

Trin 2: Opstil en ligning ved at bruge forholdet for cosinus og løs for den ukendte side.

$\begin{aligned} \cos (E) & = \frac{hosliggende side}{hypotenusen} Forhold for cosinus. \\ \cos (55^{\circ}) & = \frac{4}{E D} Indsæt de værdier vi kender. \\ E D \cdot \cos (55^{\circ}) & = 4 Gang begge sider af ligningen med E D . \\ E D & = \frac{4}{\cos (55^{\circ})} Divider begge sider med \cos (55^{\circ}) . \\ E D & \approx 6, 97 Udregn med lommeregner. \end{aligned}$ ‍

Opgave 2

Givet $△ D O G$ ‍ skal du finde længden af $D G$ ‍.
Afrund dit svar til nærmeste hundrededele.

Opgave 3

Givet $△ T R Y$ ‍ skal du finde længden af $T Y$ ‍.
Afrund dit svar til nærmeste hundrededele.

Udfordrende opgave

Hvilke ligninger nedenfor kan bruges til at finde længden af $z$ ‍?

Vi får givet længden af den modstående side til vinkel

X

, og vi bliver bedt om at finde længden af hypotenusen. Den trigonometriske funktion, som bruger de to sider, er sinus. Så

\sin (28^{\circ}) = \frac{20}{z}

Da de to spidse vinkler i en retvinklet trekant tilsammen giver

90^{\circ}

, så ved vi, at

∠ I = 62^{\circ}

. Set ud fra denne vinkels perspektiv kender vi den hosliggende side og skal bestemme hypotenusen. Den trigonometriske funktion, som bruger de to sider, er cosinus. Så

\cos (62^{\circ}) = \frac{20}{z}

Følgende to ligninger kan bruges til at finde længden af

z

$\sin (28^{\circ}) = \frac{20}{z}$ ‍

$\cos (62^{\circ}) = \frac{20}{z}$ ‍

Vil du deltage i samtalen?

Log ind

Sortér efter:

Ingen opslag endnu.

Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.