Bevis: Retvinklede trekanter indskrevet i cirkler

Vi har en cirkel og vi har en diameter i cirklen. Lad mig tegne diameteren. Den blev meget god. Dette er en diameter i cirklen. Lad os sige, jeg har en trekant, hvor diameteren er den ene side i trekanten, og den modstående vinkel i trekanten ligger på cirklen. Vinklen modsat diameteren ligger på cirklens periferi. Trekanten ser sådan her ud. I den her video skal vi bevise, at trekanten er en retvinklet trekant. Vinklen på 90° ligger overfor diameteren. Jeg vil ikke mærke den endnu, da jeg så "ødelægger" beviset. Hvad kan vi gøre for at bevise det? Med os har vi noget viden om sammenhængen mellem en periferivinkel og den centervinkel, der spænder over samme bue. Lad os bruge den viden. Dette er en periferivinkel. Lad os kalde den θ. Dette er cirklens centrum. Lad mig lave endnu en linje. Det her er en radius. Dette er en radius. De to afstande er ens. Vi har i tidligere videoer set, når periferivinklen spænder over denne bue, så er centervinklen der spænder over samme bue, dobbelt så stor som periferivinklen. Det har vi bevist i en tidligere video. Den her er altså 2θ. Det er centervinklen, der spænder over samme bue. Denne trekant er ligebenet. Jeg kan dreje den og tegne den således. Jeg drejer den, så den grønne side vender nedad. Begge disse sider har længden r. Den øverste vinkel er 2θ. Vi har ikke ændret på den. Vi har kun drejet den. Den her side svarer til den her side. Da to sider er lige store, så den er ligebenet, og de to grundvinkler er lige store. Disse er ens og svarer til de to vinkler her. Jeg har allerede brugt θ, så jeg bruger x for disse vinkler. Den her er x og den her er x. Hvad er x lig med? x + x + 2θ = 180°. De er alle i den samme trekant. Lad mig skrive det ned. x + x + 2θ = 180°. Eller vi har 2x + 2θ = 180°. Eller vi har 2x = 180 - 2θ. Vi dividerer begge sider med 2 og får, at x = 90 - θ. Hvad kan vi ellers gøre? Vi kan kigge på denne trekant. Denne side er også radius i cirklen. Den side her har vi allerede mærket r. Dette er også en ligebenet trekant. Disse to sider er lige lange, så disse to grundvinkler er lige store. Når dette er θ, så er dette også θ. Vi brugte det til at vise, forholdet mellem en periferivinkel og den centervinkel, der spænder den samme bue. Hvis dette er θ, så er dette θ, da det er en ligebenet trekant. Hvor stor er hele denne vinkel? Den er θ + (90 - θ). Denne vinkel er θ + 90 - θ. θ'erne går ud med hinanden. Når den ene side i min trekant er en diameter og dens modsatte vinkel er ligger på cirklen, så vil den vinkel være en ret vinkel og det vil være en retvinklet trekant. Hvis jeg vælger et tilfældigt punkt og tegner dette, så er dette en ret vinkel. Hvis jeg tegner det her, så er det en ret vinkel. Jeg kan lave præcis det samme bevis for hver af dem. Når jeg har tegnet det som jeg har, meget generelt, så kan det bruges til alle disse trekanter.