Udfordrende opgave om ligedannethed

Med denne tegning skal vi finde ud af, hvad længden af CF er? Du har måske allerede gættet, at det har med ligedannede trekanter at gøre. Da det ser ud til, at trekant CFE og trekant ABE er ligedannede. Det er kun en fornemmelse, fordi den ene er inden i den anden, og vi bliver nødt til at vise det først. Det ser også ud som om, at trekant CFB og trekant DEB er ligedannede. Det skal vi også først vise. hvorefter vi nok kan finde nogle sideforhold med side CF og dermed finde ud af, hvad CF er. Lad os først bevise, at disse trekanter er ligedannede. Du har denne 90° vinkel i ABE, og du har denne 90° vinkel i CFE. Hvis vi kan vise, at endnu et sæt af tilsvarende vinkler er kongruente, så har vi bevist, at trekanterne er ligedannede. De har denne vinkel tilfælles. Vinkel CEF er den samme som vinkel AEB. Vi har vist to par af tilsvarende vinkler disse trekanter. Denne vinkel er i begge trekanter, så de er kongruente, så trekanterne er ligedannede. Du kan også vise, at denne side er parallel med den her side, da disse to vinkler er ens. Derfor er disse vinkler også ens. Trekanterne er helt sikkert ligedannede. Det kan vi lige skrive ned. Vi ved, at trekant ABE er ligedannet med trekant CFE. Det er vigtigt, at bogstaverne er i den rigtige rækkefølge. F er vinkelspidsen på 90°. B er vinkelspidsen på 90°. E er, hvor den orange vinkel er. Så CFE. Den er ligedannet med trekant CFE. Lad os nu se, om vi kan gøre det samme, når vi kigger på trekant DEB. Vi har igen en 90° vinkel her. Når den her er 90°, så er denne helt sikkert også 90°. Vi har en 90° vinkel her i CFB. Vi har en 90° vinkel i trekant DEB. De har et par af tilsvarende vinkler, der er kongruente. Du kan også se, at de har denne vinkel tilfælles. Det er denne lille trekant, vi kigger på, altså ikke længere på den til højre. De har denne vinkel tilfælles. Vinkel DBE er den samme som vinkel CBF. Nu har jeg allerede vist, at denne vinkel er kongruent med denne vinkel. Vi har denne vinkel, som er i dem begge. Den er naturligvis kongruent med sig selv. Vi har to tilsvarende vinkler som er kongruente med hinanden. Derfor ved vi, at den større trekant er ligedannet med den mindre trekant. Det kan vi skrive ned. Lad os lige gå lidt til højre. Trekant DEB er ligedannet med trekant CFB. Hvad gør vi nu? Vi ved, at forholdene mellem tilsvarende sider i hver af trekanterne er det samme. Vi kender kun en side i en af trekanterne, så med ABE og CFE er der kun en side givet. Med DEB og CFB er der også kun en side givet. så det lader ikke til, at der er meget at arbejde med. Det er derfor, dette er en lidt vanskeligere opgave. Lad os starte med, at kalde længden af denne side, der er i begge større trekanter noget. Måske det så går bedre. Lad os antage, at side BE har længden y. Det viser vi lige. Hele længden af BE er lig med y. Det giver os i det mindste noget at arbejde med. y er fælles for ABE og DEB, så det kan nok bruges til noget. Lad os se på de mindre trekanter. Lad os kalde længden af BF for x. Når BE er y og BF er x, så er længden af FE lig y - x. Nu har vi godt nok introduceret nogle variable, men måske de sammen med forholdene kan bruges til noget. Eller vi vil have lidt mere styr på, hvad vi kan gøre med den her opgave. Men nu kan vi se nærmere på de ligedannede trekanter. Vi skal finde ud af, hvad siden CF er. For disse to trekanter er forholdet mellem tilsvarende sider konstant. Så forholdet mellem CF og 9, de tilsvarende sider, skal være lig forholdet mellem y - x og den tilsvarende side i den større trekant. Den tilsvarende side i den større trekant er hele denne længde y. Det er altså lig med (y -x) / y. Det kan vi reducere en lille smule, men jeg venter lige lidt. Lad os se, om vi kan gøre noget lignende med det udtryk her til højre. Vi har siden CF og dens tilsvarende side i DEB. Nu kigger vi altså på trekanten CFB, og ikke længere på trekant CFE. Nu kigger vi altså på denne trekant. CF er tilsvarende med DE. Vi har CF / DE som er lig noget. CF / DE er lig x over hele denne side. Det er altså x over hele BE. BE kender vi jo som y. Det bliver derfor x over y. Det ser interessant ud, da det ser ud som om, at vi har tre ubekendte. Hov, vi ved allerede, hvad DE er. Vi skriver lige 12 i stedet for DE. Forholdet mellem CF og 12 er lig forholdet mellem x og y. Vi har tre ubekendte og kun to ligninger, så det er umiddelbart svært at løse. Der er en ukendt, ukendt, ukendt, ukendt, ukendt og en ukendt. Vi kan omskrive dette udtryk, så vi isolerer x/y, hvorefter vi kan indsætte det i den anden ligning. Det er derfor, den er lidt snedig. Vi kan skrive dette som CF/9 = 1 - (x/y), da (y-x)/y er det samme som y/y - x/y, som er 1 - (x/y). Jeg opdelte blot brøken i to. y/y er det samme som 1, og derfor får vi 1 - (x/y). Det kan vi arbejde videre med, da vi allerede ved, hvad x/y er. Vi ved allerede, at x/y er lig CF/ 12. Jeg kan erstatte x/y med CF/12. Vi får, at CF/9 = 1 - (CF/ 12). Nu har vi en ligning med en ubekendt, og den kan vi løse. Vi lægger CF/12 til på begge sider, så vi får CF/9 + CF/12 = 1. Nu skal vi finde en fællesnævner og jeg tror, vi bruger 36. 9 gange 4 er 36. Hvis du ganger 9 med 4, så skal du gange CF med 4. 4 CF/36, som er det samme som CF/9 plus CF/12 er det samme som 3 CF/36. 4CF/36 + 3CF/36 = 1. Lad os se, hvad vi har tilbage. 4 CF plus 3 CF er 7 CF, så vi har 7 CF/36 = 1. For løse for CF ganger vi på begge sider med det reciprokke til 7/36. Vi ganger på begge sider med 36/7. På denne side går de ud med hinanden. -- tid til trommesolo -- Tilbage har vi, at CF er lig -- da alt dette er gået ud med hinanden -- 1 gange 36/7, som er 36/7. Det var en ret interessant opgave. Hvis dette er en pæl eller stang eller en bygning der er 9 feet høj eller 9 yards høj eller 9 meter høj, og den anden er 12 meter høj eller 12 yards eller hvad enheder du bruger, Når du trækker en snor fra toppen af den ene til bunden af den anden og omvendt. Uanset, hvor langt de er fra hinanden, her var de y fra hinanden, så vil de to snore skære hinanden i en højde af 36/7 eller 5 1/7. Det var da ret interessant opgave.