Bevis: Parallelle linjer deler trekanters sider proportionalt

Vi bliver bedt om at bevise, at når en linje er parallel med en side i en trekant, så opdeler den de to andre sider proportionalt. Sæt videoen på pause og se, om du kan gøre det. Og du bør nok bruge dette diagram. Okay, lad os lave den sammen. Vi starter med dette diagram. Vi ved, at linjestykke ED er parallelt med linjestykke CB. Lad os skrive det ned. Linjestykke ED er parallelt med linjestykke CB. Det er linjestykke ED, de snakker om. Det er en linje eller et linjestykke, der er parallelt med en af siderne i trekanten. Givet, hvad vi ved og hvad der allerede er skrevet på trekanten. En anden måde at sige den opdeler de to andre sider proportionalt, er forholdet mellem den del af siden i den oprindelige trekant, der er på den ene side af skillelinjen og længden op den anden side er det samme for begge de to sider, som den skærer. Så en anden måde at sige den opdeler de to andre sider proportionalt, når vi ser på denne trekant er, at længden af linjestykke AE over længden af linjestykke EC er lig længden af linestykke AD over længden af linjestykke DB. Dette udsagn og det jeg understregede heroppe er det samme for denne trekant. En måde at gribe det an på er at vise ligedannethed mellem trekant AED og trekant ACB. Hvordan gør vi det? Da disse to linjer er parallelle så kan vi se linjestykke AC som en transversal der skærer parallelle linjer. Det betyder, at disse to ensliggende vinkler er kongruente. Vi kan sige, at vinkel 1 er kongruent med vinkel 3. Fordi de er ensliggende vinkler. Jeg skriver lige lidt forkortet. Der står ensliggende vinkler. Det er begrundelsen. Vi ved også, at vinkel 2 er kongruent med vinkel 4 af samme grund. så vinkel 2 er kongruent med vinkel 4. Igen, fordi de er ensliggende vinkler. Denne gang har vi en anden transversal. Ensliggende vinkler ved parallelle linjer. Hvis du ser på trekant AED og trekant ACB, så har de to par af tilsvarende vinkler, der er kongruent Når du har to par af tilsvarende vinkler, så er alle par af vinkler er kongruente. Du kan faktisk se det her, hvis du vil. To er nok, men du har faktisk et tredje par, da vinkel BAC er fælles i begge trekanter. Vi kan sige, at trekant AED er ligedannet med trekant ACB med vinkel ligedannethed. Givet at disse to er ligedannede, så kan vi opstille et forhold. Det fortæller os, at forholdet mellem længden af linjestykke AE og hele siden AC er lig forholdet mellem længden af linjestykke AD og længden af hele AB. Jeg begynder lige at skrive her for at spare plads. Det er det samme som forholdet AE over AC er AE + EC, så AE/(AE + EC). Og dette er lig længden af linjestykke AD over linjestykke AB, som er AD + DB, så AD/(AD + DB). Nu skal jeg finde ud af, hvordan jeg omskriver det algebraisk, så jeg får det jeg har her oppe. Lad mig lige gå lidt nedad. Jeg kan forsøge at reducere ved at gange over kors. Det svarer til at gange begge sider med begge nævnere. Det har vi gennemgået i andre videoer. Det bliver lig AE (AD + DB) = AD (AE + EC). Nu ganger jeg ind i parenteserne. Jeg får AE AD + AE DB = AD AE + AD EC. Kan jeg reducere dette? Vi har AE AD på begge sider. Lad mig lige trække AE AD fra på begge sider. Tilbage her jeg at det her er lig dette. Lad mig lige mere nedad, så jeg kan skrive det lige ordentlig. Jeg har AE DB = AD EC. Disse er alle længder af linjestykker. Hvis du dividerer på begge sider med EC, så får du EC her nede og dette går ud. Og du dividerer på begge sider med DB og det går ud og du får DB lige her. Da vi omskrev det vi havde, så får vi at længden af linjestykke AE over længden af linestykke EC er lig længden af linjestykke AD over længden af linjestykke DB, som er præcis, det vi skulle bevise. Denne linje her der er parallel med denne side den deler de andre to sider proportionalt.