Tekstopgave med trigonometri: komplementære vinkler

Floden Nilen er løbet over sine bredder og dækker omgivelserne bortset fra den øverst spids af den store pyramide i Giza i Egypten. En ekspedition er sendt afsted for at finde ud af, hvor højt vandet er. Folk målte den skrå kant af pyramiden, der er over vandet, til at være 72 meter. Denne længde er 72 meter. De ved, at hele kanten har en længde på 180 meter, når der ingen oversvømmelse er. Hele denne kant har længden 180 meter. De ved også, at den lodrette højde af pyramiden er 139 meter. Dette er 139 meter. Hvad er højden af vandet over jorden? Her er jorden lige ved pyramidens grundflade. Vi skal finde højden af vandet over jorden. Det er denne højde lige her. Lad os kalde den h. Vi skal finde ud af, hvad h er. Afrund dit svar, hvis nødvendigt til 2 decimaler. Hvad ved vi og hvad ved vi ikke? De har mærket denne lille vinkel her θ. Dette er naturligvis en ret vinkel. Denne vinkel ved pyramidens grundflade er komplementær til θ. Den bliver 90° - θ grader. Når vi bruger den oplysning, kan vi også finde frem til, at denne vinkel her oppe er θ. Hvis du syntes det er mærkeligt, så lad mig lige tegne det en smule mere tydeligt. Hvis vi har en retvinklet trekant, hvor denne vinkel er 90° - θ, og vi skal finde den vinkel her oppe, som vi kalder x, så kan vi sige x + (90° - θ) + 90° skal være lig vinkelsummen i en trekant, altså 180°. Vi trækker 180 fra på begge sider. Det er er 180 fra på venstre side og 180 fra på højre side. Vi får x - θ = 0. Når du lægger θ til på begge sider, får du at, x = θ. Denne vinkel er θ. Så denne vinkel er også θ. Hvad ved vi ellers? Vi ved, at denne er 72. Vi ved den hele er 180. Den her er 72 og den hele er 180. Den del af kanten der er under vandet -- lad mig lige tegne det uden at gøre det hele for rodet-- -- jeg bruger sort -- Denne afstand her er 108. 108 + 72 er 180. Hvad kan vi bruge det til? Vi skal finde denne højde. Vi ved, at det er en retvinklet trekant. Vi kan farve den for at gøre det mere tydeligt. Dette i gult er en retvinklet trekant. Når vi ser på den trekant, og vi vil løse for h ved at bruge et trig forhold med vinklen θ, så ved vi, at set fra vinklen θ, så er denne side h den hosliggende side. Og denne længde på 108 er hypotenusen af den gule trekant som jeg har fremhævet. Hvilket trigonometrisk funktion bruger hosliggende og hypotenusen? Vi skriver "Mod Hos ModHos". Sinus er modstående over hypotenusen. Det er denne side over hypotenusen. Cosinus er hosliggende over hypotenusen. Vi får derfor, at cos(θ) er lig den højde, som vi skal bruge, det er den hosliggende side i trekanten over længden af hypotenusen, over 108. Men det hjælper os ikke endnu, da vi ikke kender cos(θ). Men der er et hint, da θ også er heroppe. Hvis vi kan finde cos(θ) heroppe, så kan vi løse for h. Hvis vi gør det, hvad er så cos(θ)? Vi bruger nu en anden retvinklet trekant. Vi kigger på hele denne trekant. Når vi bruger den trekant, hvad er så cos(θ)? cos(θ) er endnu engang hosliggende over hypotenusen. Den hosliggende side er nu denne side her. Vi ved allerede, at den er 139 meter. Dette bliver 139 meter. Hvad er længden af hypotenusen? Hypotenusen er denne side her. Den er 72 + 108. Oh, den er skrevet her. Den er 180. Vi går ud fra, at for denne pyramide er denne flade en ligebenet trekant. 180 på den side og 180 på denne side. cos(θ) er lig hosliggende, 139 over hypotenusen, som er 180. De to θ er de samme, det har vi lige vist. Nu har vi altså cos(θ) = h/108. cos(θ) = 139/180. Eller vi kan sige h/108, som er lig cos(θ), også er lig 139/180. Begge disse er lig cos(θ). For at løse for h, skal vi blot gange på begge sider med 108. h er lig 139 gange 108/180. Lad os hente vores lommeregner og udregne det. Det er 139 gange 108 divideret med 180, som er 83,4 meter. h er lig 83,4 meter. Højden af vandet er 83,4.