Introduktion til lang division med polynomier

I denne video skal vi lære at dividere polynomier også kaldet algebraisk lang division. Du vil se, hvad jeg mener, når vi har lavet et par eksempler. Jeg vil dividere 2x + 4 med 2. Vi ændrer ikke værdien. Vi ændrer blot, hvordan vi udtrykker værdien. Vi ved allerede, hvordan vi reducerer dette. Vi har gjort det før. Vi kan dividere tælleren og nævneren med 2. Hvad får vi så? Det bliver lig med x + 2 -- lad mig skrive det sådan her -- hvis du dividerer 2x med 2, så bliver det x. Du dividerer 4 med 2, som bliver 2. hvis du dividerer 2 med 2, så får du 1. Det er lig med x + 2. Lige ud af landevejen tror jeg. Du kunne også have faktoriseret 2 ud og så ville disse gå ud med hinanden. Jeg vil vise dig, hvordan man gør med algebraisk lang division, som er lige i overkanten for denne opgave. Jeg vil vise dig, at der ikke er noget grundlæggende nyt ved metoden. Det er blot en anden måde at gøre det på som er nyttig i komplicerede opgaver. Du kunne alså skrive dette som 2 går op i 2x + 4, hvor mange gange? Du gør dette som en normal lang division Du siger 2 -- du starter altid med højestegradsleddet -- 2 går op i højestegradsleddet -- du ignorerer 4 -- 2 går op i 2x, hvor mange gange? Det går op i 2x x gange, så du skriver x på pladsen for x. x gange 2 er 2x. Ligesom i almindelig lang division, så skal du nu trække fra. 2x + 4 minus 2x er hvad? Det er 4, ikke? 2 går op i 4, hvor mange gange? 2 gange. + 2 gange. Indsæt det på konstantleddets plads. 2 gange 2 er 4. Du trækker fra, en rest på 0. Dette er i overkanten for en opgave, du sikkert kunne have lavet anderledes i et par trin. Dette er den helt generelle proces. Du kan bruge den for en hvilken som helst grad af et polynomium divideret med en hvilken som helst grad af polynomium. Lad mig vise dig, hvad jeg snakker om. Vi skal dividere x² + 3x + 6 med x + 1. Hvordan gør vi det? Du finder højestegradsleddet her, som er x og højestegradsleddet her, som er x². Du kan ignorere alt andet. Det gør metoden ret enkel. Du siger x går op i x², hvor mange gange? x² divideret med x er x, ikke? x går op i x² x gange. Det skriver du på x-pladsen. Dette er x-pladsen eller x¹-pladsen. x gange x + 1 er hvad? x gange x er x². x gange 1 er x, så det er x² + x. Og som vi gjorde her, så skal vi nu trække fra. Hvad får vi? x² + 3x + 6 minus x² -- jeg skal være omhyggelig -- minus (x² + x). Jeg skal være sikker på, at det negative fortegn gælder for det hele. x² minus x², de går ud med hinanden. 3x minus x, lad mig lige putte fortegnet her. Dette er x² - x -- vi trækker hele denne fra -- 3x minus x er 2x. Så tager du 6 ned -- eller 6 minus 0 er ingenting -- så 2x + 6. Nu kigger du på højestegradsleddet x og 2x. Hvor mange gange går x op i 2x? Det gør det 2 gange. 2 gange x er 2x. 2 gange 1 er 2. Så vi får 2 gange x + 1 er 2x + 2. Som vi skal trække fra dette her, så det gør vi. I stedet for at skrive 2x + 2 så kan vi skrive -2x -2 og lægge dem sammen. Disse går ud med hinanden. 6 minus 2 er 4. Hvor mange gange går x op i 4? Vi kan sige det er 0 gange eller vi kan sige, at 4 er resten. Vi kan omskrive x² + 3x + 6 over x + 1 til -- bemærk dette er det samme som x² + 3x + 6 divideret med x + 1 -- Denne ting divideret med dette. Vi kan nu sige, den er lig med x + 2 plus en rest divideret med x + 1, så + 4 over x + 1. Dette her og dette her er det samme. Du kan tjekke ved at gå baglæns, ved at gange dette med x +1 over x + 1 og lægge de to brøker sammen. Det er det samme som x + 2, gange x +1 over x + 1, det svarer til at gange med 1, og så lægge 4 over x + 1 til. Jeg gjorde det for at få fælles nævner. Når du har lavet denne addition, efter du har ganget disse to-leddet størrelser, og lagt 4 til, så burde du få x² + 3x + 6. Lad os lave en mere. Det er da lidt sjovt. Vi skal reducere x² + 5x + 4 over x + 4. Vi skal igen lave algebraisk lang division. VI kan dividere x² + 5x + 4 med x + 4. Det er samme trin som før. Find højestegradsleddene i dem begge. x går op i x², hvor mange gange? Det går op i det x gange. Sæt det på x-pladsen. Dette er x-pladsen. Lige her. x gange x er x². x gange 4 er 4x. Så skal vi trække disse fra. Lad mig skrive et negativt fortegn der. De går ud med hinanden. 5x minus 4x er x. 4 minus 0 er plus 4. x + 4 , nu kan du se, hvad der vil ske. x + 4 går naturligvis op i x + 4 én gang. Eller hvis du ikke kigger på konstantleddende, så går x op i x, hvor mange gange? 1 gang, så +1. 1 gange x er x. 1 gange 4 er 4. Vi trækker fra. De går ud med hinanden og der er ingen rest. Dette kan reduceres til x + 1. Der er en anden måde, du kunne have gjort det på. Du kunne have faktoriseret tælleren. x² + 5x + 4 over x + 4. Det er det samme som hvad? Vi kan faktorisere tælleren som (x + 4) (x + 1). 4 gange 1 er 4 og 4 plus 1 er 5, alt dette over x + 4. Dette går ud med hinanden og du har x + 1 tilbage. Begge metoder virker, men algebraisk lang division virker altid, selv når du ikke kan fjerne faktorer som her, når du har en rest. Her havde du ikke nogen. Så dette er lig med x + 1. Lad os lave en mere, for at være sikre på -- da dette er en meget meget nyttig færdighed at have i din værkstøjskasse. Lad os sige, vi har x² -- nu ændrer jeg lidt på det hele -- vi har 2x² -- jeg finder blot på noget -- 2x² - 20x + 12 divideret med -- lad os lave det mere spændende, så du kan se det altid virker -- Lad os gå højere end i anden. Lad os sige vi har 3x³ - 2x² + 7x - 4 som vi dividerer med x² + 1. Det er noget jeg lige fandt på. Vi kan lave algebraisk lang division for at finde ud af, hvad det bliver eller hvordan vi reducerer det. x² + 1 som skal divideres op i 3x³ - 2x² + 7x - 4. Endnu engang find højestegradsleddene. x² går op i 3x³, hvor mange gange? Det går op i det 3x gange. Du ganger 3x gange dette og du får 3x³. Så det går op i det 3x gange. Du skriver 3x på x-pladsen. Det går op i 3x gange. Nu skal vi gange 3x gange x² det er 3x³, ikke? plus 3x gange 1. Vi har 3x her. Det skal være på x-pladsen. Nu skal vi trække fra. Hvad har vi? Disse går ud med hinanden. Vi har -2x² og 7x minus -- fordi jeg trækker 0 fra her -- 7x minus 3x er +4x, og vi har -4. Igen, vi finder højestegradsleddene. x² og -2x². x² går op i -2x² -2 gange, som vi sætter på konstantleddets plads. -2 gange x² er -2x². -2 gange 1 er -2. Nu skal vi trække fra. Lad os gange med -1, da det ellers bliver positivt. Disse to går ud med hinanden. 4x - 0 -- lad mig skifte farve -- 4x minus 0 er 4x. -4 minus -2 eller -4 plus 2 er - 2. x² det har en højere grad end 4x, og den højeste grad her, så dette er en rest. Dette udtryk kan omskrives til 3x - 2 plus en rest på 4x - 2 over x² + 1. Forhåbentlig har du haft det lige så sjovt som jeg har.