Begrænsning af definitionsmængden, så funktioner bliver invertible

Hvilket interval kan vi begrænse f(x) = cos(x-π/4) til, så f(x) er invertibel? Vi ser, hvordan cos(x-π/4) ser ud. Dens graf. Allerførst, hvad det betyder, at en funktion er invertibel? En funktion knytter elementer fra det vi kalder definitionsmængden -- min pen er lidt dum i dag -- Dette er vores definitionsmængde. Dette er vores værdimængde. En funktion knytter et element fra definitionsmængden til et element i værdimængden. Det er hvad en funktion gør. Den inverse funktion knytter dette element i værdimængden til dette element i definitionsmængden. Dette er den inverse f. Dette er funktionens retning. Det er den inverse f's retning. En funktion er ikke altid invertibel. En situation hvor en funktion ikke er invertibel er, når funktionen har to elementer i definitionsmængden, der er knyttet til det samme element i værdimængden. Begge disse elementer er knyttet til dette element i værdimængden. Begge disse er f. Når det er tilfældet, så kan du ikke lave en funktion der går den anden vej. Når dette er input i den inverse funktion, hvor går du så hen? Til dette element i definitionsmængden? Eller dette element? Man kan sige, at du skal have en tilknytning på 1 til 1. For hvert element i værdimængden må der kun være et element i definitionsmængden, der går dertil. Du kan også tegne en vandret linje på grafen for funktionen og se, om den skærer funktionen mere end én gang. Du kan se, at det sker for denne funktion. Når jeg tegner en vandret linje lige her. Hvorfor er det et problem? Lad mig gøre det igen med et tal, hvor det er lidt nemmere at se. Når jeg tegner en vandret linje her. Hvorfor er den vandrette linje et problem? Den viser os, at den afbildede definitionsmængde har flere punkter, der er knyttet til det samme element i værdimængden. De er knyttet til 0,5. Der er den værdi her. Når du tager f af den, så får du 0,5. f af den her er lig 0,5 og f er den her er lig 0,5. Når der er flere elementer i definitionsmængden, der er knyttet til det samme element i værdimængden, så er funktionen ikke invertibel i denne definitionsmængde. Vi skal derfor begrænse definitionsmængden så det kan bestå den vandrette linje test. Den må kun skære grafen én gang. Lad os se på disse muligheder. Den første er et åbent interval fra -5π/4. -5π/4, dette er -π og yderligere 1/4 π. Vi starter her og går hen til -1/4 π. Det er dette interval. Lad mig bruge en anden farve. Det er det her og det inkluderer ikke endepunkterne. Jeg bruge en vandret linje og se, i denne definitionsmængde er to elementer, der er knyttet til det samme element i værdimængden. Når jeg laver den inverse, hvad vil dette element, som er omkring -0,6 være? hvad er den inverse f til -0,6? Er det denne værdi? Eller denne værdi? Jeg kan udelukke denne her. Lad os se -π til π. Jeg bruger denne farve. -π til π. Dette er et lukket interval, så vi inkluderer begge endepunkter. Vi inkluderer -π og π i definitionsmængden. Også for dette interval, når jeg bruger jeg den vandrette linje, kan jeg se, at der er flere elementer i definitionsmængden, der er knyttet til omkring 0,5. Hvad vil den inverse f af 0,5 være? Du kan ikke lave en funktion, der kun er knyttet til et element i definitionsmængden. Vi kan også udelukke denne her. -1/2 π til + 1/2 π. Jeg er ved at løbe tør for farver. -1/2 π til 1/2 π Dette er en spændende en. Når jeg bruger en vandret linje her, så skærer den funktionen to gange. Der er to elementer i definitionsmængden, der er knyttet til samme element i værdimængden, så jeg kan også udelukke den. Tilbage har jeg den sidste mulighed. Jeg håber den virker. Det er et åbent interval fra 1/2π til 5π/4. Dette er π og så yderligere 1/4 π, det bliver her. Det ser ud til at grafen består den vandrette linje test. For ethvert punkt kan jeg lave en vandret linje hen over definitionsmængden. Kan du se det? For hele definitionsmængden skærer jeg kun grafen én gang Ethvert element i værdimængden er knyttet til et element i definitionsmængden. Det består den vandrette linje test, så jeg vil vælge denne her.