Gennemgang af additionsformlerne

Jeg har allerede lavet en del videoer om de trigonometriske formler vi skal se på i denne video. Grunden til jeg laver denne gennemgang er, fordi jeg selv har brug for den. Jeg lavede nogle opgaver i infinitesimalregning, hvor jeg skulle bruge dem, og mit udstyr er blevet bedre, så jeg tænkte to fluer med et smæk. Lad mig lave en video og genopfriske min hukommelse. Disse formler, som antager jeg, vi kender, da jeg allerede har lavet videoer om dem og de er en smule lange at bevise, er sin(a+b) = sin(a)∙cos(b) + sin(b)∙cos(a). Det er den første, som jeg antager, vi allerede kender. Lad mig skrive den en smule anderledes. Hvis jeg vil finde ud af sin(a + (-c))? Det er det samme som sin(a-c), ikke? Vi kan blot bruge denne formel og sige det er lig med sin(a)∙cos(-c) + sin(-c)∙cos(a) Vi ved, og det er igen en antagelse, at cos(-c) = cos(c) Cosinus er en lige funktion. Du kan se det ved at kigge på grafen for cosinusfunktionen eller på selve enhedscirklen. Sinus er en ulige funktion, så sin(-c) = -sin(c). Vi kan bruge disse to til at omskrive den anden linje heroppe. sin(a-c) = sin(a)∙cos(c) -- da cos(-c) er det samme som cos(c) -- - sin(c), i stedet for sin(-c) gange cos(a). Vi har nærmest bevist det ved at vide dette på forhånd. Godt nok Nu vil jeg bruge disse til at vise flere trigonometriske formler. De andre trig formler er cos(a+b) = cos(a) .. -- du må endelige ikke forveksle cosinus og sinus her -- cos(a)∙sin(b) -- ups jeg sagde lige du ikke må forveksle dem og så gør jeg det selv -- cos(a)∙cos(b) - sin(a)∙sin(b) Hvis du vil vide, hvad cos(a-b) er, så kan du bruge de samme formler. cos(-b) er stadig lig cos(b), så vi får cos(a)∙cos(b), da cos(-b) er lig cos(b). Men her skal du have sin(-b), som er det samme som -sin(b). Dette minus går ud med dette, så det bliver +sin(a)∙sin(b). Det er lidt lumskt, når du har et plus, så får du et minus der og når du et minus her, så får du et plus der. Men godt nok. Det vil jeg ikke bruge for meget tid på, da vi har flere formler at vise. Hvad nu, hvis jeg vil have en formel for cos(2a)? cos(2a) er det samme som cos(a+a). Så vi kan bruge den formel heroppe. Da mit andet a er mit b, så er det blot cos(a)∙cos(a)-sin(a)∙sin(a). Mit b er også et a herover. Jeg kan omskrive dette til cos(2a) = cos²(a) .. -- cos(a) ganget med sig selv -- - sin²(a). Det var lige en formel mere. cos(2a) = cos²(a) - sin²(a). Lad mig lige lave kasser om de formler, vi viser i denne video. Jeg har lige vist den her. Hvad nu hvis jeg ikke er tilfreds og jeg kun vil have den med cosinus? Så kan vi hente enhedscirklens definition af vores trigonometriske funktioner. Grundrelationen sin²(a) + cos²(a) = 1. Hvordan gør jeg det bedst? Du kan skrive det som sin²(a) = 1 - cos²(a). Nu kan vi indsætte dette. Vi kan omskrive denne formel til cos(2a) = cos²(a) -- -sin² (a) som er lig dette her -- -- jeg bruger en anden farve -- - (1 - cos²(a)). Dette er i stedet for sin²(a). Dette er lig cos²(a) - 1 + cos²(a). Vi lægger sammen. Vi har cos²(a) + cos²(a), så det er 2cos²(a) - 1. Alt dette er lig cos(2a). Hvad nu, hvis jeg vil have en formel for cos²(a)? Vi kan isolere cos²(a). Vi lægger 1 til på begge sider. -- lad mig lige lave en kasse om denne formel -- Når vi lægger 1 til på begge sider, så får vi 2cos²(a) = cos(2a) + 1. Når vi dividerer begge sider med 2, så får vi cos²(a) = 1/2 (1 + cos(2a)) Og vi er færdige Vi har endnu en formel. Den kaldes også for formel for reduktion af graden for cosinus. Hvad hvis vi vil have en formel for sin²(a)? Vi kan gå op til denne her. Vi ved at sin²(a) = 1 - cos²(a), men vi kunne i stedet have trukket sin²(a) fra på begge sider. Så ville vi have fået cos²(a) = 1 - sin²(a). Så kan vi gå tilbage til denne formel som vi omskriver til -- det gør jeg med blåt -- cos(2a) = -- i stedet for cos²(a) skriver jeg dette -- cos(2a) = 1 - sin²(a) - sin²(a). cos(2a) = -- jeg har -sin²(a) og -sin²(a) -- 1 - 2sin²(a). Her er endnu en formel. En anden måde at skrive cos(2a). Vi opdager, at der er flere formler for cos(2a). Hvad nu, hvis vi vil isolere sin²(a)? Vi kan lægge det til på begge sider. Lad mig gøre det her. Jeg lægger 2sin²(a) til på begge sider. Så får vi 2sin²(a) + cos(2a) = 1. Vi trækker cos(2a) fra på begge sider. Du får 2sin²(a) = 1 - cos(2a). Så dividerer du på begge sider med 2. Du får sin²(a) = 1/2 (1 - cos(2a)). Vi har fundet endnu en formel. Det er interessant at lede efter symmetri. De to er ens bortset fra, at du har +cos(2a) for cosinus og -cos(2a) for sinus. Vi har fundet frem til en masse interessante ting. Lad os se, hvad vi kan gøre ved sin(2a). -- lad mig vælge en ny farve, selvom jeg vist har brugt dem alle -- Hvis jeg skal finde en formel for sin(2a), så svarer det til sin(a + a), som er lig sin(a)∙cos(a) + sin(a)∙cos(a). Jeg har skrevet det samme to gange, så det er lig 2sin(a)∙cos(a). Dette er lig sin(2a). Det er endnu en formel. Jeg er ved at være lidt træt af at lege med alle disse sinus og cosinus. Men jeg fik de formler, jeg skulle til min opgave. Forhåbentlig var det en god gennemgang for dig, fordi det var det for mig. Du kan skrive disse ned. Du kan også lære dem udenad, men det er vigtigt, at du altid kan udlede dem fra disse oprindelige formler, som vi lige har gjort. Selv de udledes af de grundlæggende definitioner af trig funktionerne.