Hovedindhold

Emne: (Trigonometri > Emne 1

Modul 7: De reciprokke trigonometriske funktioner

Sinus og cosinus til komplementære vinkler

Lær om sammenhængen mellem sinus og cosinus og komplementære vinkler - vinkler med en vinkelsum på 90°.

Vi skal bevise, at sinus til en vinkel er lig cosinus til dens komplementære vinkel.

\sin (θ) = \cos (90^{\circ} - θ)

Lad os begynde med en retvinklet trekant. Bemærk, hvordan de spidse vinkler er komplementære, idet deres sum er 90

^{\circ}

Vinkelsummen i en trekant er 180

^{\circ}

. Da den ene vinkel i en retvinklet trekant er 90

^{\circ}

, så må summen af de to andre være 180

^{\circ}

- 90

^{\circ}

, eller 90

^{\circ}

Hvis størrelsen af den ene vinkel er

θ

, så må størrelsen af den anden være 90

^{\circ}

θ

. Dermed er vinkelsummen af disse to vinkler 90

^{\circ}

Når vinkelsummen af to vinkler er 90

^{\circ}

, så kalder vi dem for komplementære vinkler.

Nu kommer den seje del. Se, hvordan sinus til den ene spidse vinkel

svarer til

præcis det samme forhold

som cosinus til den anden spidse vinkel?

Utroligt! Begge funktioner

\sin (θ)

\cos (90^{\circ} - θ)

er defineret med præcis det samme sideforhold i en retvinklet trekant.

Og vi er færdige! Vi har bevist, at

\sin (θ) = \cos (90^{\circ} - θ)

Med andre ord, sinus til en vinkel er lig cosinus til dens komplementære vinkel.

Vi har egentlig kun bevist det for vinkler mellem 0

^{\circ}

og 90

^{\circ}

. For at lave beviset så det gælder for alle vinkler, skal vi bevæge os udover trigonometri i retvinklet trekanter og over i trigonometri på enhedscirklen, men det må vente til en anden gang.

Cofunktioner

Du har måske bemærket, at ordene sinus og cosinus ligner hinanden. Der er fordi de er cofunktioner. Cofunktioner virker præcis, som du så ovenfor. Hvis

f

g

er cofunktioner, så

f (θ) = g (90^{\circ} - θ)

g (θ) = f (90^{\circ} - θ)

Her er en liste over de mest almindelige trigonometriske cofunktioner.

Cofunktioner
Sinus og cosinus	$\sin (θ) = \cos (90^{\circ} - θ)$ ‍
	$\cos (θ) = \sin (90^{\circ} - θ)$ ‍
Tangens og cotangens	$\tan (θ) = \cot (90^{\circ} - θ)$ ‍
	$\cot (θ) = \tan (90^{\circ} - θ)$ ‍
Sekans og cosekans	$\sec (θ) = \csc (90^{\circ} - θ)$ ‍
	$\csc (θ) = \sec (90^{\circ} - θ)$ ‍

Neat! Den der har navngivet de trigonometriske funktioner, har nok forstået sammenhængen mellem dem.

Vil du deltage i samtalen?

Log ind

Sortér efter:

Ingen opslag endnu.

Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.