Trigonometriske forhold i særlige trekanter

Indtil nu har vi brugt lommeregneren til at beregne sinus, cosinus og tangens af en vinkel. Det er dog muligt at beregne trigonometriske funktioner for visse vinkler uden at bruge en lommeregner.

Dette er fordi der er to særlige trekanter, hvis side-forhold vi allerede kender! Disse to trekanter er 45-45-90 trekanten og 30-60-90 trekanten.

En 30-60-90 trekant er en retvinklet trekant med en vinkel på ${30}^{\circ }$‍ og en vinkel på ${60}^{\circ }$‍.

En 45-45-90 trekant er en retvinklet trekant med to vinkler på ${45}^{\circ }$‍.

Vi er nu klar til at udregne de trigonometriske funktionerne for disse særlige vinkler. Lad os starte med ${30}^{\circ }$‍.

Eksemplet nedenfor viser, hvordan det gøres.

Her er et eksempel:

Trin 1: Tegn den særlige trekant, der har den valgte vinkel.

Trin 2: Mærk trekantens sider, så de stemmer overens med forholdene for den særlige trekant.

Trin 3: Brug definitionen af de trigonometriske forhold til at finde værdien af det ønskede udtryk.

Bemærk, når du ser $x$‍ som $1x$‍, så er det tydeligt, at ${\displaystyle \frac{x}{2x}}={\displaystyle \frac{1x}{2x}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$‍.

Lad os nu bruge denne metode til at finde $\cos ({30}^{\circ })$‍ og $\tan ({30}^{\circ })$‍.

Lad os prøve denne metode igen med ${45}^{\circ }$‍. Lad os først mærke siderne, så de stemmer overens med forholdene for en 45-45-90 trekant.

Metoden med at udlede de trigonometriske forhold for de særlige vinkler ${30}^{\circ }$‍, ${45}^{\circ }$‍ og ${60}^{\circ }$‍ er den samme.

Selv om vi endnu ikke udtrykkeligt har vist, hvordan vi skal finde det trigonometriske forhold for ${60}^{\circ }$‍, har vi alle de oplysninger, vi har brug for!

Vi har udregnet de trigonometriske forhold for ${30}^{\circ }$‍, ${45}^{\circ }$‍ og ${60}^{\circ }$‍. Tabellen nedenfor opsummerer vores resultater.

Disse værdier har tendens til at forekomme ofte i avancerede trigonometri opgaver. Derfor er det nyttigt at kende dem.

Nogle vælger at huske disse værdier udenad, men det er ikke nødvendigt. I denne artikel har du selv udledt værdierne, så du kan forhåbentlig udlede dem igen, når du fremover får brug for dem.