Grafen for y=tan(x)

I denne video skal vi se nærmere på grafen for tan(θ) [theta]. For at gøre det laver jeg en enhedscirkel, så vi kan visualisere, hvad tangens til forskellige theta'er er. Dette er y-aksen og dette er x-aksen og enhedscirklen ser således ud. Dette er blot en hurtig gennemgang af enhedscirklens definition af de trigonometriske funktioner. Hvis jeg har en vinkel θ, hvor det ene vinkelben ligger langs den positive x-akse og det andet vinkelben danner denne vinkel, så har retningspunktet, hvor enhedscirklen skæres, x- og y-koordinater, der svarer til henholdsvis cos(θ) , sin(θ). Denne x-koordinat svarer til cos(θ) og denne y-koordinat svarer til sin(θ). Men vi skal se på tan(θ). Vi ved, at tan(θ) er det samme som sin(θ) / cos(θ). Eller, hvis du starter i origo, så tager du værdien af y-koordinaten over x-koordinaten, hvilket jo svarer til hældningen af denne linje. Det er ændringen i y over ændringen i x. Det svarer til hældningen af dette vinkelben. Det hjælper os med at visualisere, hvad tangens til forskellige θ er. Lad mig lige gøre min enhedscirkel mere overskuelig. Lad os lave en tabel. Vi vælger forskellige θ'er og skal finde ud af, hvad tangens til θ er. Den nemmeste er nok, når θ er 0 radianer. Når θ er 0 radianer, hvad er hældningen af det andet vinkelben? Hældningen er 0. Når x ændres, så ændres y ikke. Jeg vælger værdier, så det er nemt for os at udregne tangens. De skal bruges til at hjælpe os med at finde ud af, hvordan grafen for y = tan(θ) ser ud. Lad os vælge π/4 radianer. Dette er theta er lig π/4. Hvorfor er det en god en? Nogle gange hjælper det at bruger grader. Det er en 45-graders vinkel. Her er x-koordinaten og y-koordinaten det samme. Du kan måske huske, at det er √2 / 2. Men det vigtige her er at uanset, hvor langt du går i x-retningen, så går du det samme i y-retningen. Hældningen af denne halvlinje er lig 1. tan(θ) = 1, eller sin(θ) / cos(θ), da de er det samme, er lig 1. Lad mig lige rydde lidt op, da jeg bliver ved med at bruge den samme enhedscirkel. Når theta er lig π/4, så er tan(θ) = 1. Hvad hvis θ = -π/4? Det er lige her. Lad mig lige tegne en lille trekant. Denne x-koordinat er √2 / 2. Lad mig lige markere lidt mere tydeligt. θ er lig -π/4 radianer, eller hvis du bruger grader, så er den -45 grader. Sinus og cosinus til denne vinkel vil være det modsatte af hinanden. Cosinus er √2 / 2, altså x-koordinaten af retningspunktet er √2 / 2. y-koordinaten er - √2 / 2. Hvad er tangens? Den er sinus over cosinus, som er -1. Uanset hvor langt du går i x-retningen, så går du det samme i den negative y-retning. Lad mig lige slette lidt igen, så jeg kan genbruge min enhedscirkel. Sådan Dette bliver -1. Lad os afbilde nogle af disse punkter. Vi siger, at denne akse er for θ og dette er y-aksen. tan(0) er 0. tan(π/4) er 1, når vi bruger radianer. tan(-π/4) er -1. Nu kunne man tro, at dette er en eller anden form for en linje, men vi skal snart se, at det ikke er en linje. Hvad sker der, når vores vinkel kommer tættere og tættere på π/2? Hvad sker der med hældningen af denne linje? Dette er θ. Vi kommer tættere og tættere på π/2 Denne halvlinje bliver mere og mere lodret så hældningen bliver mere og mere positiv og hvis du går helt op til π/2, så er hældningen i dette punkt ikke defineret, men den nærmer uendelig, når den kommer tættere og tættere på π/2. Nu tegner jeg en lodret asymptote ved π/2. Grafen nærmer sig uendelig, så den kommer til at se nogenlunde sådan her ud. Hældningen af halvlinjen, når du nærmer dig π/2, nærmer sig uendelig. Hvad sker der, når vinklen kommer tættere og tættere på -π/2? Hældningen bliver mere og mere negativ. Den nærmer sig minus uendelig. Lad mig tegne det. Den er ikke defineret her, hvor vi har en lodret asymptote, og vi nærmer os minus uendelig. Sådan ser grafen for tan(θ) ud i dette interval på θ-aksen. Men vi kan fortsætte. Lige efter vi har passeret π/2, hvad er så hældningen? Hældningen er meget negativ. Den ser nærmest ud som hernede, altså meget negativ. Grafen hopper tilbage hertil og er igen meget negativ. Når θ stiger, så bliver den mindre og mindre negativ, indtil vi kommer hen til denne vinkel. Hvad er denne vinkel? Det har jeg ikke sagt endnu. Lad os sige denne vinkel er 3π/4. Hvorfor valgte jeg 3π/4? Fordi det er π/2 plus π/4. Eller man kan sige 2π/4 plus π/4, så 3π/4. Grunden til den er god er fordi der dannes igen en trekant der måler π/4 og π/4 eller en 45-45-90 trekant, hvor x- og y-koordinaterne eller afstandene er lige store. Nu er x negativ og y er positiv, derfor er hældningen her den samme som ved -π/4 radianer. Vi har en hældning på -1. Ved 3π/4 har vi en hældning på -1. Når vinklen vokser helt over til π, så er vores hældning tilbage til 0. Når vi fortsætter, og vinklen vokser med endnu π/4, så er vores hældning igen 1. Vores hældning er igen +1. Når vi nærmer os 3π/2, så bliver hældningen mere og mere positiv mens den nærmer sig plus uendelig. Når du går en smule i x-retningen, så går du langt op i y-retningen. Grafen ser igen således ud. Lad mig lave den i en farve du kan se. Grafen kommer til at se nogenlunde således ud. Den vil fortsætte med at gøre dette. Den vil gøre dette for hver π radianer. -- lad mig lige bruge en stiplet linje -- For hver π radianer, så sker det samme igen og igen. Lad mig tegne disse asymptoter. Grafen for tan(θ) kommer til at se nogenlunde således ud. Den er periodisk, så den fortsætter igen og igen i begge retninger.