Sinus & cosinus overgangsformler: drejning

Lad os sige, jeg har vinklen θ lige her. Jeg tegner den på enhedscirklen ved at bruge konventionen at den første halvlinje ligger langs den positive x-akse og der hvor vinklens anden halvlinje skærer enhedscirklen der kan vi aflæse sinus og cosinus af vinklen θ. cos(θ) er -- lad mig lige bruge en farve jeg ikke har brugt endnu -- cos(θ) er x-koordinaten til det punkt, hvor den anden halvlinje skærer enhedscirklen. Eller man kan også sige, at cos(θ) er længden af det jeg her tegner med pink. Det er denne længde. Den længde her er cos(θ) og sin(θ) er y-koordinaten. Eller man kan sige, at sin(θ) er længden af denne linje her. Hvor højt du er over x-aksen, det svarer til y-koordinaten, så denne længde er sinθ. Det giver jo mening. Dette viser faktisk, hvorfor enhedscirklens definition er en forlængelse af Mod Hos ModHos reglen. Husk Mod Hos ModHos. Lad mig skrive det. Mod Hos ModHos [på engelsk soh cah toa] Sinus er den modsatte over hypotenusen. Jeg skal finde sin(θ). Hvad bliver den? Når jeg skal skrive sin(θ) med Mod Hos ModHos reglen, så er den lig med længden af den modsatte side, som er sin(θ), over hypotenusen. Da dette er en enhedscirkel er hypotenusen er 1. Det hele hænger sammen. Man kan også sige, at sin(θ) er lig med den modsatte side over hypotenusen. Altså Mod og hvad er hypotenusen? Det er en enhedscirkel, så den er 1. I dette tilfælde er sin(θ) lig længden af den modsatte side. Længden af den modsatte side er lig sinθ. Med den samme logik er cos(θ) lig den hosliggende side over hypotenusen. Da hypotenusen er lig 1, så er det længden af den hosliggende side. cosθ er længden af den hosliggende side. Dette var en lille gennemgang, der viser, at enhedscirklens definition er en forlængelse af Mod Hos ModHos reglen. Lad os nu gøre noget spændende. Dette er vinklen θ. Lad os se på vinklen θ + π/2. Når jeg lægger π/2 til θ, så får jeg en halvlinje, der er vinkelret på den første halvlinje. Når jeg siger θ + π/2, så mener jeg radianer. π/2 radianer er det samme som 90 grader. Vi lægger altså 90 grader til. Denne vinkel er θ + π/2. Det vi skal se på i denne video, det som jeg går ud fra er den spændende del af videoen, kan vi finde en sammenhæng mellem sin(θ+ π/2) og sin(θ) eller cos(θ)? Jeg opfordrer dig til at sætte videoen på pause og tænke over det, inden jeg gennemgår det. Lad os se, hvad sin(θ + π/2) er. Vi ved fra enhedscirklens definition, at sin(θ + π/2) svarer til y-koordinaten. Det er den værdi lige her. Eller man kan også sige, at det er længden af denne pink linje. Dette er sin(θ + π/2). Dette lige her. Hvordan hænger det sammen med det vi har herover? Når du kigger efter, så ser det ud til, at vi tog denne trekant og drejede den. Vi drejede den 90 grader mod uret. Fordi vi tog denne side og lagde 90 grader eller π/2 radianer til. Hvis du vil være en smule mere korrekt, så er den hvide vinkel lig θ + π/2 og den den del der er i den første kvadrant er π/2. Den del lige her må derfor være lig θ. Hvis vi skal finde en sammenhæng mellem denne side i pink og denne vinkel θ, med mod hos modhos reglen, så er den i forhold til vinkel θ i gult den hosliggende side. Lad os tænke lidt over det. Hvad har med hosliggende side og hypotenusen at gøre? Her er hypotenusen lig 1, da det er en enhedscirkel. Cosinus har med den hosliggende side og hypotesen at gøre. Vi kan sige, at cos(θ) er lig længden af den hosliggende side, som vi allerede ved er sin(θ + π/2) over hypotenusen, som er 1. Den ændrer altså ikke værdien. Det er da ret sejt. Vi har fundet en ret sjov sammenhængen mellem cosinus og sinus. cosθ er lig sin(θ + π/2), eller du kan sige, at sin(θ + π/2) er lig cos(θ). Nu opfordrer jeg dig til efter denne video at se, om du kan finde andre sammenhænge. Tænk over andre sammenhænge med sin(θ) eller cos(θ + π/2). Jeg opfordrer dig til selv at prøve.