Cosinus, sinus og tangens til π/6 og π/3

I denne video skal vi finde ud af, hvad sinus, cosinus og tangens er til to meget vigtige vinkler. Vinkler du ofte vil se i trigonometri og i din hverdag. Vinklerne er π/3 radianer og π/6 radianer. Nogle gange kan det være nyttigt at visualisere dem som grader. Først π/3. Du husker måske, at π radianer er 180 grader, som du dividerer med 3, så π/3 svarer til 60 grader. For π/6 dividerer du 180 grader med 6, så det er samme som 30 grader. Nu vil jeg bruge enhedscirklens definition af de trigonometriske funktioner. Først vil jeg lige gennemgå, hvad du måske allerede ved nemlig 30-60-90 trekanter, som man også kan kalde π/6-π/3-π/2 trekanter. Lad mig lige tegne en, da den bliver nyttig, når vi skal bestemme disse trigonometriske funktioner ved at bruge enhedscirklens definition. Lad mig tegne en trekant her. Frihåndstegning, så den er ikke så pæn, som den kunne have været. Dette her er en retvinklet trekant og denne her er π/3 radianer, som er det samme som 60 grader. Og denne her over er π/6 radianer, som er det samme som 30 grader. Lad os sige at den længste side, hypotenusen har længden 1. Som hjælp til at finde ud af, hvad de to andre sider er, så vender jeg trekanten henover denne side og laver et spejlbillede. Da dette er et spejlbillede, så ved vi et par ting. Vi ved, at denne længde er kongruent med denne længde. Lad mig lige tegne hele trekanten, som kommer til at se nogenlunde således ud. Da dette er en spejling, så har denne side længden 1. Denne er π/6 radianer. Denne er π/3 radianer. Hvad ved vi ellers, om denne større trekant? Vi ved, det er en ligesidet trekant, da vinklerne er π/3 radianer, π/3 radianer og hvis du lægger to π/6 sammen, så får du også π/3. Denne er 60 grader, 60 grader 60 grader trekant. Alle sider har samme længde, så det bliver 1, 1 og 1. Hvis disse to sider i de mindre trekanter, er kongruente, mindre retvinklede trekanter, så er denne her 1/2 og denne her er 1/2. Det bliver nyttigt, når vi skal finde denne længde. Vi har to trekanter. Vi kan bruge dem begge, men hvis vi blot bruger den nederste, så fortæller Pythagoras' læresætning os, at (1/2)² -- lad os kalde denne b -- + b² -- jeg indsætter i formlen a² + b² = c² hvor c er længden af hypotenusen, som er lig 1² -- Vi har derfor 1/4 + b² = 1. Vi trækker 1/4 fra på begge sider. b² = 3/4 Vi tager kvadratroden på begge sider og vi får b er lig √3 / 2. Sådan nu har vi fundet alle sidelængderne i denne 30-60-90 trekant. b = √3 / 2. Jeg sagde, det bliver nyttigt, når vi går i gang med enhedscirklens definition af sinus, cosinus og tangens. Nu skal vi se hvorfor. Jeg har to forskellige enhedscirkler og jeg bruger en til hver af disse vinkler. Lad os se på π/3 radianer. π/3 radianer ser nogenlunde således ud. Dette er π/3 radianer. Cosinus og sinus kan bestemmes ud fra x- og y-koordinaterne af dette punkt, hvor radius skærer enhedscirklen. Disse koordinater bliver cos(π/3), sin(π/3). Eller jeg kan lave en 30-60-90 trekant. Jeg tegner en linje, der er vinkelret. Dette er 90 grader eller π/2 radianer. Denne vinkel her 60 grader og denne 90, så denne er 30. Altså π/6 radianer. Den svarer til en af disse trekanter. x-koordinaten, som svarer til cos(π/3), svarer til længden af den side her. Hvad er det? Når hypotenusen er 1, så ved vi, at længden af den korte side, den modstående side til π/6 radianer, er 1/2. Sådan og vi har fastslået at cos(π/3) = 1/2. Denne her er 1/2. Det er x-koordinaten, hvor radius skærer enhedscirklen. Hvad med y-koordinaten? Hvad er sin(π/3)? y-koordinaten er det samme som længden af denne side. Vi går igen tilbage til denne trekant. Hvis denne er 1 og denne er 1/2, så er denne side √3 / 2. sin(π/3) = √3 / 2. Lad mig lige skrive det. sin(π/3) = √3 / 2. Disse er gode at kende. Jeg siger nærmest aldrig, at man skal lære ting uden af, det er altid bedre at kunne udlede ting, hvis man nu glemmer det. Men hvis du skal lære noget udenad, så vil jeg varmt anbefale disse her. Ud fra dem kan vi bestemme tangens. Tangens er blot sinus over cosinus. Lad mig lige skrive det ned. Tangens til π/3 er lig med sinus, som er kvadratroden af 3 over 2, over cosinus, som er 1/2. -- det er lidt mast -- Det bliver kvadratroden af 3 over 2 gange 2, som er kvadrtroden af 3. Vi kan følge samme logik for π/6. Faktisk opfordrer jeg dig at sætte videoen på pause og se om du kan gøre det selv. Okay, lad os tegne en radius, der danner en vinkel på π/6 radianer med den positive x-akse. Hvis dette er π/6 radianer, så bliver det spændende, når vi tegner en vinkelret linje. Hvilken trekant har vi konstrueret? Denne har længden 1. Dette er π/6 radianer. Dette er en ret vinkel. Vi følger igen samme mønster. Dette er π/3 radianer. Siderne er helt magen til den øverste blå trekant. Vi ved, at denne side er 1/2. Vi ved, at denne side er lig √3 / 2. Det er nyttigt, da vi nu kender disse koordinater. x-koordinaten af dette punkt, hvor radius skærer enhedscirklen, er √3 / 2. y-koordinaten er 1/2. Det fortæller os også værdierne af cosinus og sinus til π/6. Lad mig skrive det ned. Det fortæller os, at cosinus til π/6 er lig √3 / 2. sin(π/6) = 1/2. Bemærk, vi har egentlig blot byttet rundt på disse, da den vinkel vi nu tager sinus eller cosinus til er en anden vinkel i en 30-60-90 trekant. Vi bruger de samme sidelængder. Hvad med tangens? Jeg skriver det lige her. Tangens til π/6 er sinus over cosinus, så 1/2 over kvadratroden af 3 over 2. Det er 1/2 gange 2 over kvadratroden af 3. Det er lig 1 over kvadratroden af 3. Nogle kan ikke lide at have rodtegn i nævneren, så du kan gange tæller og nævner med kvadratroden af 3, hvis du vil. Du ganger tæller og nævner med kvadratroden af 3 og du får kvadratroden af 3 over 3, som er en anden måde at skrive tangens af π/6. Uanset hvordan, så er vi færdige. Det er meget nyttigt at kende cosinus, sinus og tangens til både π/3 og π/6. Og nu ved du også, hvordan du udleder dem.