Hovedindhold

Emne: (Fysik Bibliotek > Emne 3

Modul 1: Projektil bevægelse

Hvad er 2D projektil bevægelse?

Lær om, hvordan ting bevæger gennem luften, i frit fald eller affyret i en vinkel.

Hvad er et 2D projektil?

I et sukkechok induceret raseri, beslutter du at kaste en citron i en vinkel gennem luften. Den følger en kurve gennem rummet som vist nedenfor. Citronen anses i dette tilfælde at være et todimensionelt projektil, fordi den foretager en bevægelse både lodret og vandret gennem luften mens den kun påvirkes af tyngdekraften.

Jo. Alle objekter, der bevæger sig gennem luften, oplever en vis luftmodstand. Men håndtering af luftmodstand kan være vanskelig, så vi vil typisk antage, at kraften fra luftmodstanden er ubetydelig (dvs., lille nok til at blive ignoreret). Dette er ikke altid en god tilnærmelse, men det fungerer virkelig godt for objekter, hvis vægt er store i forhold til luftmodstanden.

Husk på, at luftmodstand på et objekt bliver større og større, når hastigheden af objektet stiger. Derfor bruger vi typisk situationer, hvor hastigheden af et objekt er så lille, at luftmodstand stadig er ubetydelig.

Da tyngdekraften trækker nedad, vil tyngdekraften kun påvirke den lodrette komponent af citronens hastighed

v_{y}

. Den vandrette komponent af hastigheden

v_{x}

forbliver upåvirket og derfor konstant, mens citronen bevæger sig langs dens bane.

Prøv at trække i prikken i diagrammet nedenfor for at se, at den lodrette hastighed

v_{y}

ændres, men den vandrette hastighed

v_{x}

forbliver konstant.

Tjek din forståelse: Hvad er værdien af den lodrette komponent af hastigheden, når citronen har den maksimale højde i dens bane?

Hvordan håndterer vi 2D projektil bevægelse matematisk?

En af de nemmeste måder at gribe 2D projektil bevægelse an på er at analysere bevægelsen i hver retning separat. Vi bruger med andre ord ét sæt ligninger til at beskrive den vandrette bevægelse af citronen og et andet sæt ligninger til at beskrive den lodrette bevægelse. Dette laver én vanskelig 2D opgave om til to enklere 1D opgaver. Det kan vi gøre fordi ændringen i citronens lodrette hastighed ikke påvirker citronens vandrette hastighed. Det er derfor et kast af citronen med en stor vandret hastighed ikke påvirker citronens lodrette acceleration. Af samme årsag vil en kugle, der skydes vandret, og en kugle, der på samme tid slippes, ramme jorden samtidigt.

Ja. Denne indsigt er måske ikke intuitiv for mange mennesker, men hvis luftmodstanden er ubetydelig og kuglen er affyret eksakt vandret, så vil den kugle som skydes ramme jorden præcis samtidigt med den, der blot blev slubbet.

Årsagen er, at den vandrette hastighed ikke påvirker den lodrette acceleration af kuglen, så begge kugler ændrer deres lodrette hastighed med samme størrelse i den samme tidsperiode (dvs. det faktum, at en kugle har vandret hastighed ændrer ikke den hastighed, hvormed den bevæger sig nedad).

Vandret retning:

Der er ingen acceleration i den vandrette retning, da tyngdekraften ikke trækker projektiler sidelæns, kun nedad. Luftmodstand vil forårsage en vandret acceleration og derved bremse den vandrette bevægelse, men da vi kun kommer til at analysere situationer, hvor luftmodstand er ubetydelig, kan vi antage, at den vandrette hastighed for et projektil er konstant.

For den vandrette bevægelse kan vi bruge følgende ligning,

Δ x = v_{x} t

Når hastigheden er konstant i en bestemt retning, kan vi bruge

Δ x = v t

til at finde ud af, hvor langt objektet bevæger sig i den retning.

En anden måde at tænke på det på er, at konstant vandret hastighed betyder

a_{x} = 0

. Så hvis vi indsætter

a_{x} = 0

i bevægelsesligningen

Δ x = v_{0 x} t + \frac{1}{2} a_{x} t^{2}

, får vi blot

Δ x = v_{0 x} t

. Desuden har vi ingen vandret starthastighed, da den vandrette hastighed er konstant. Lad os derfor erstatte

v_{0 x}

med

v_{x}

, hvorefter vi får:

Δ x = v_{x} t

Bemærk: Du må kun indsætte vandrette variabler ind i denne vandrette ligning. Hvis vi kender to af variablerne i denne ligning kan vi isolere den sidste ukendte variabel.

Lodret retning:

To-dimensionelle projektiler udsættes for en konstant nedadgående acceleration på grund af tyngdekraften

a_{y} = - 9, 8 \frac{m}{s^{2}}

. Da den lodrette acceleration er konstant, kan vi isolere en lodret variabel med en af de fire bevægelsesligninger,

1. v_{y} = v_{0 y} + a_{y} t

2. Δ y = (\frac{v_{y} + v_{0 y}}{2}) t

3. Δ y = v_{0 y} t + \frac{1}{2} a_{y} t^{2}

4. v_{y}^{2} = v_{0 y}^{2} + 2 a_{y} Δ y

Bemærk: Du må kun indsætte lodrette variabler i disse lodrette ligninger. Hvis vi kender tre af variablerne i disse ligninger kan vi isolere enhver ukendt variabel ved at vælge den rigtige ligning.

Bemærk: For en given proces har tidsintervallet

t

samme værdi for de lodrette og vandrette ligninger. Det betyder, hvis vi isolerer tiden

t

, kan vi indsætte den tid for

t

i ligningerne for enten den lodrette eller vandrette retning. Denne strategi bruges i mange opgaver. Ofte skal man isolere tiden

t

ved hjælp af de lodrette ligninger og derefter sætte tiden ind i den vandrette ligning (eller omvendt).

Hvad er forvirrende ved 2D projektil bevægelse?

Mange gange forsøger folk at indsætte lodrette komponenter i en vandret ligning eller omvendt. En analyse af hver retning (vandret og lodret) af et projektil separat virker kun, hvis du beholder de forskellige retninger (

x

eller

y

) i de dertilhørende ligninger.

Starthastigheder, der er rettet diagonalt bliver nødt til at blive brudt op i lodrette og vandrette komponenter. Folk har undertiden svært ved at bryde en hastighedsvektor i lodrette og vandrette komponenter. Se denne artikel for hjælp med den trigonometri, du skal bruge for at dele vektorer op i komponenter.

Når et projektil bliver skudt vandret, er lodret starthastighed nul

v_{0 y} = 0

(se eksempel 1 nedenfor). Mange har svært ved at forstå, at et objekt kan starte med en vandret hastighedskomponent, men have en lodret hastighedskomponent på nul.

Hvordan ser løste eksempler med 2D projektil bevægelse ud?

Eksempel 1: En vandballon kastet vandret

En vandballon kastes vandret med en hastighed på

v_{0} = 8, 31 \frac{m}{s}

fra taget af en bygning med højden

H = 23, 0 m

Hvor langt flyver ballonen vandret, før den rammer jorden?

Lad os først tegne en figur, der indeholder de givne variabler.

Når vi har bestemt tiden

t

for faldet, kan vi isolere den vandrette forskydning med

Δ x = v_{x} t

. Men hvordan bestemmes tiden? Vi skal huske, at vi kender tre variabler i lodret retning (

Δ y = - 23, 0 m

v_{0 y} = 0

a = - 9, 8 \frac{m}{s^{2}}

Den lodrette komponent i starthastigheden er nul (

v_{0 y} = 0

), da ballonen var kastet vandret til at starte med. For at have en lodret komponent af starthastighed forskellig fra nul, skulle ballonen kastes skråt i en vinkel opad eller nedad.

Den lodrette forskydning er

- 23 m

, da ballonen falder ned til jorden.

Accelerationen i den lodrette retning for et projektil er altid tyngdeaccelerationen

a_{y} = - g = - 9, 8 \frac{m}{s^{2}}

Vi kan derfor bruge en bevægelsesligning i lodret retning til at bestemme tiden

t

for faldet. Vi kender ikke sluthastigheden

v_{y}

, og vi bliver ikke bedt om sluthastigheden

v_{y}

, så lad os bruge den bevægelsesligning uden sluthastighed - i lodret retning.

Δ y = v_{0 y} t + \frac{1}{2} a_{y} t^{2} (bevægelsesligning uden sluthastighed - lodret)

- H = (0) t + \frac{1}{2} (- g) t^{2} (indsæt symboler for kendte lodrette værdier)

t = \sqrt{\frac{2 H}{g}} (isoler tiden t)

t = \sqrt{\frac{2 (- 23, 0 m)}{- 9, 8 \frac{m}{s^{2}}}} = 2, 17 s (indsæt værdier og udregn tiden)

Nu kan vi indsætte

t

i ligningen for den vandrette bevægelse for at bestemme den vandrette forskydning

Δ x

Δ x = v_{x} t (ligning for den vandrette forskydning)

Δ x = (8, 31 \frac{m}{s}) (2, 17 s) (indsæt tiden for faldet og v_{x})

Vi fandt tiden for faldet

t = 2, 17 s

i beregningen ovenfor ved at bruge en bevægelsesligning - i lodret retning.

Størrelsen af den vandrette komponent af starthastighed er lig med hele starthastigheden

8, 31 \frac{m}{s}

, da vandballonen blev kastet præcist vandret til at starte med. Hvis vandballonen blev kastet i en vinkel opad eller nedad, ville vi blive nødt til at bruge trigonometri for at finde den vandrette komponent af starthastigheden.

Δ x = 18, 0 m (udregn forskydningen)

Vandballonen ramte jorden

18, 0 m

væk fra kanten af bygningen.

Ja, og at løse opgaver med symboler er ikke en dårlig ide, da du så faktisk har løst alle mulige opgaver af denne type.

For eksempel hvis vi indsætter symbolerne for tiden

t = \sqrt{\frac{2 H}{g}}

og starthastighed

v_{0}

i ligningen for den vandrette forskydning

Δ x = v_{x} t

, får vi formlen nedenfor,

Δ x = v_{0} \sqrt{\frac{2 H}{g}}

Denne formel kan bruges til ethvert projektil kastet vandret med en hastighed på

v_{0}

fra kanten af en bygning af enhver højde

H

. Vi behøver blot at indsætte højde og starthastighed i vores specifikke opgave, og formlen vil give os svaret på, hvor langt projektilet bevæger sig vandret før det rammer jorden.

Eksempel 2: Et græskar afskudt i en vinkel

En luftkanon bruges til at afskyde et græskar fra en klippe i højden

H = 18, 0 m

med en fart på

v_{0} = 11, 4 \frac{m}{s}

i en vinkel på

θ = 52, 1^{\circ}

, som vist nedenfor.

Hvad er græskarrets fart lige før det rammer jorden?

Vi kan udregne græskarrets fart lige inden det rammer jorden, hvis vi kan bestemme de to hastighedskomponenter i samme øjeblik (

v_{x}

v_{y}

Vi er ude efter hastigheden af græskarret lige inden det rammer jorden, så derfor er sluthastigheden ikke nul.

Desuden når græskarret rammer jorden, vil accelerationen ikke længere være

a_{y} = - 9, 8 \frac{m}{s^{2}}

, da kollisionen vil forårsage en enorm ukendt acceleration. Bevægelsesligningerne gælder kun for tidsintervaller, hvor accelerationen er konstant. Det betyder, at vi normalt ikke inkluderer det tidspunkt, hvor projektilet rammer jorden, da vi typisk ikke har oplysninger om accelerationen i det øjeblik.

Før vi kan gøre det, skal vi bestemme komponenterne i starthastigheden (

v_{0 x}

v_{0 y}

) ved hjælp af definitionerne af sinus og cosinus.

cos θ = \frac{hosliggende}{hypotenusen} = \frac{v_{0 x}}{v_{0}} (brug definitionen af cosinus)

v_{0 x} = v_{0} cos θ (isoler v_{0 x})

v_{0 x} = (11, 4 \frac{m}{s}) cos (52, 1^{\circ}) (indsæt værdier)

v_{0 x} = 7, 00 \frac{m}{s} (udregn v_{0 x})

(Bemærk: Hvis det virkede som uigennemskuelig matematisk trylleri, så tjek denne artikel for mere hjælp med at opdele vektorer i komponenter.)

Den værdi vi fandt som den vandrette komponent i starthastigheden

v_{0 x} = 7, 00 \frac{m}{s}

vil stadig være den vandrette komponent i sluthastigheden

v_{x} = 7, 00 \frac{m}{s}

, da den vandrette komponent af hastigheden forbliver konstant i hele faldet (forudsat at der ikke er nogen luftmodstand).

For at finde den lodrette komponent i starthastigheden vil vi bruge den samme procedure som ovenfor, men med sinus i stedet for cosinus.

sin θ = \frac{modstående}{hypotenusen} = \frac{v_{0 y}}{v_{0}} (brug definitionen af sinus)

v_{0 y} = v_{0} sin θ (isoler v_{0 y})

v_{0 y} = (11, 4 \frac{m}{s}) sin (52, 1^{\circ}) (indsæt værdier)

v_{0 y} = 9, 00 \frac{m}{s} (beregn v_{0 y})

Da den lodrette hastighedskomponent

v_{y}

ændrer sig for et projektil, når det bevæger sig gennem luften, kan vi udregne den lodrette komponent i sluthastigheden

v_{y}

ved hjælp af en bevægelsesligning i lodret retning. Da vi ikke kender tiden

t

for flyvningen, og vi ikke bliver bedt om at finde tiden

t

, bruger vi den bevægelsesligning, der ikke inkluderer tid

t

v_{y}^{2} = v_{0 y}^{2} + 2 a_{y} Δ y (brug bevægelsesligning, som ikke inkluderer tid)

v_{y}^{2} = (9, 00 \frac{m}{s})^{2} + 2 (- 9, 8 \frac{m}{s^{2}}) (- 18 m) (indsæt værdier)

v_{y}^{2} = 434 \frac{m^{2}}{s^{2}} (udregn)

v_{y} = \pm \sqrt{434 \frac{m^{2}}{s^{2}}} = \pm 20, 8 \frac{m}{s} (tag kvadratroden)

v_{y} = - 20, 8 \frac{m}{s} (brug det negative svar, da græskarret bevæger sig nedad)

Nu, hvor vi kender både den vandrette og lodrette komponent af sluthastigheden, kan vi bruge Pythagoras' læresætning til at udregne farten af græskarret lige inden det rammer jorden, altså vektorsummen af de to hastighedskomponenter.

v^{2} = v_{x}^{2} + v_{y}^{2} (brug Pythagoras’ læresætning)

v^{2} = (7, 00 \frac{m}{s})^{2} + (- 20, 8 \frac{m}{s})^{2} (indsæt vandret og lodret komponent af sluthastighed)

v^{2} = 482 \frac{m^{2}}{s^{2}} (udregn)

v = 21, 9 \frac{m}{s} (tag kvadratroden)

Denne fart på

v = 21, 9 \frac{m}{s}

er størrelsen af sluthastigheden for græskarret lige inden det rammer jorden. Sluthastigheden og dens komponenter er vist i diagrammet nedenfor.

Vi kan også finde vinklen

ϕ

af græskarret lige inden det rammer jorden ved hjælp af definitionen for tangens.

tan ϕ = \frac{modstående}{hosliggende} = \frac{v_{y}}{v_{x}}

tan ϕ = \frac{20, 8 \frac{m}{s}}{7, 00 \frac{m}{s}}

Vi skal bestemme størrelsen af vinklen mellem vandret og sluthastighedens retning, så vi indsætter absolutværdien af de vandrette og lodrette hastigheder.

Grunden til, at vi gør dette, er, at en lommeregner ikke kan vide, om det negative fortegn kom fra tælleren eller nævneren, når tangens udregnes. Dermed kan vi ikke vide i hvilken kvadrant vinklen ligger. For at undgå denne mulige fejl, kan vi i stedet tegne et diagram og betragte siderne af trekanten/komponenterne som positive og derefter finde absolutværdien af den ønskede vinkel.

Nu tager vi invers tangens af begge sider og får,

t a n^{- 1} (tan ϕ) = t a n^{- 1} (\frac{20, 8 \frac{m}{s}}{7, 00 \frac{m}{s}})

Venstre side bliver til

ϕ

, og vi kan finde værdien af højre side ved at bruge i en lommeregner,

ϕ = 71, 4^{\circ}

Vil du deltage i samtalen?

Log ind

Sortér efter:

Ingen opslag endnu.

Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.