Hovedindhold

Emne: (Fysik Bibliotek > Emne 1

Modul 3: Acceleration

Hvad er hastighed vs. tidsgrafer?

Lær at analysere hastighedsgrafer. Disse grafer viser ikke blot et objekts hastighed over et vist tidsrum, men også dets acceleration og forskydning.

Hvad repræsenterer den lodrette akse på en hastighedsgraf?

Den lodrette akse repræsenterer objektets hastighed. Dette lyder måske indlysende, men vær på vagt – hastighedsgrafer er notoriske vanskelige at fortolke. Man vænner sig til at finde hastighed ved at bestemme grafens hældning - men det er på en positionsgraf - og glemmer at på denne graf svarer hastigheden til den lodrette akse.

Prøv at trække prikken vandret på grafen nedenfor for at vælge forskellige tidspunkter og se hvordan hastigheden ændrer sig.

Tjek af sammenhæng: Hvad er objektets hastighed til tiden $t = 4 s$ ‍, ifølge grafen?

Hvad repræsenterer hældningen i en hastighedsgraf?

Hældningen i en hastighedsgraf repræsenterer objektets acceleration. Så hældningen på et bestemt tidspunkt repræsenterer accelerationen af objektet på dette tidspunkt.

Hældningen i en hastighedsgraf bestemmes med følgende formel:

hældning = \frac{stigning}{fremdrift} = \frac{v_{2} - v_{1}}{t_{2} - t_{1}} = \frac{Δ v}{Δ t}

\frac{Δ v}{Δ t}

er definitionen på acceleration svarer hældningen af hastighedsgrafen derfor til objektets acceleration.

hældning = acceleration

Det betyder, at når hældningen er stor, har objeket en stor acceleration og vil ændre hastighed hurtigt. Når hældningen er lille har objektet en lille acceleration og vil ændre hastighed langsommere. Det betyder også, at hvis hældningen er negativ - rettet nedad - er accelerationen negativ, og hvis hældningen er positiv - rettet opad - er accelerationen positiv.

Træk prikken vandret på hastighedsgrafen nedenfor for at se, hvordan hældningen ser ud til forskellige tider.

Kurvens hældning er positiv mellem

t = 0 s

t = 2 s

, da hældningen er rettet opad. Det betyder, at accelerationen er positiv i dette tidsrum.

Kurvens hældning er negativ mellem

t = 2 s

t = 8 s

, da hældningen er rettet nedad. Det betyder, at accelerationen er negativ i dette tidsrum.

Ved

t = 2 s

, er hældningen nul, da tangenten er vandret. Det betyder, at accelerationen er nul på dette tidspunkt.

Tjek af sammenhæng: Bliver bevægelsen af objektet, som beskrives af grafen ovenfor, hurtigere eller langsommere ved $t = 4 s$ ‍?

Objektet bliver langsommere ved

t = 4 s

Dette kan ses ved at trække prikken til

t = 4 s

. Grafens hældning er her negativ, hvilket betyder, at accelerationen er negativ. Hastigheden ved

t = 4 s

er positiv og har en værdi af

+ 3 m/s

. Da acceleration og hastighed har modsat tegn, betyder det, at objektet bliver langsommere.

En anden måde at se det på, er ved

t = 4 s

nærmer kurven sig den vandrette akse. Da den vandrette akse repræsenterer

v = 0 m/s

, vil en kurve, der nærmer sig den vandrette akse, repræsentere bevægelsen af et objekt, der bliver langsommere. På samme måde repræsenterer en kurve, der bevæger sig væk fra den vandrette akse, bevægelsen af et objekt, der bliver hurtigere. Til tiden

t = 7 s

er den samme kurve på vej væk fra den vandrette akse, og objektet bliver hurtigere - men i den negative retning.

Hvad repræsenterer arealet under en hastighedsgraf?

Arealet under en hastighedsgraf repræsenterer objektets forskydning. Lad os se hvorfor på følgende hastighedsgraf, der viser et objekt med en konstant hastighed på 6 m/s i 5 sekunder.

Vi kan bestemme forskydningen i dette tidsinterval med denne formel:

Δ x = v \cdot Δ t = (6 m/s) (5 s) = 30 m

hvilket giver en forskydning på

30 m

Lad os dernæst udregne arealet under kurven, som har form af et rektangel.

Arealet af dette rektangel findes ved at gange højden af rektanglet, 6 m/s, med bredden, 5 s, hvilket giver

areal = højde \cdot bredde = 6 m/s \cdot 5 s = 30 m

Vi får samme forskydning, som vi fik før. Arealet under en hastighedskurve, uanset form, er altid lig med forskydningen i dette tidsinterval.

En vilkårlig figur kan opdeles i mange rektangler med en lille bredde som vist i grafen nedenfor. Forskydningen i hvert lille tidsinterval vil være givet af

Δ x = v Δ t

, da hastigheden vil være omtrent konstant, hvis tidsintervallerne er små nok. Hvis du kunne gøre bredden af rektanglerne uendelig lille, ville rektanglernes samlede areal præcist svare til arealet under kurven og derfor forskydningen af objektet. Når du løser en opgave skal du dog ikke opdele arealet i uendelig mange rektangler. Du skal blot forsikre dig, hvilket areal der svarer til den forskydning du skal finde, og dernæst udregne arealet.

areal under kurve = forskydning

Du kan stadig udregne arealet mellem kurven og tidsaksen. Men da arealet ligger under tidsaksen, vil det negative areal svare til en negativ forskydning. Dette giver mening, da hastigheden vil være negativ i tidsrummet, hvilket per definition fører til en negativ forskydning.

Mange betragter dog arealer, der ligger under tidsaksen som "negative arealer". Det er strengt taget noget vrøvl, da arealer per definition er nul eller positive, men denne huskeregel kan være en god ide, da man husker at tilføje det negative fortegn for forskydningen.

Eksempler med hastighedsgrafer.

Eksempel 1: Windsurfing og hastighedsændring

En windsurfer sejler ad en lige linje, og hendes bevægelse er givet ved hastighedsgrafen nedenfor.

Vælg alle udsagn, der er sande om windsurferens hastighed og acceleration.

(A) Hastigheden vokser.
(B) Accelerationen vokser.
(C) Hastigheden aftager.
(D) Accelerationen aftager.

Udsagn A, hastighed vokser, og D, acceleration aftager, er begge sande.

Accelerationen er givet ved hældningen af en hastighedsgraf. Da hældningen af kurven aftager, den bliver mindre stejl, er accelerationen også aftagende.

Det virker måske kontraintuitivt, men windsurferens hastighed stiger i hele det viste tidsrum. Kurvens højde, som repræsenterer hastigheden, er voksende, men hældningen bliver langsomt mindre. I de første 4,5 sekunder stiger hastigheden fra 0 m/s til ca. 5 m/s, altså med ca. 5 m/s, men i de sidste 4,5 sekunder, stiger hastigheden fra 5 m/s til ca. 7 m/s, altså kun med ca. 2 m/s - men stadig en stigning.

Eksempel 2: Gokart og acceleration

Hastighedsgrafen nedenfor viser bevægelsen af en gokart.

A. Hvad var gokartens acceleration til tiden $t = 4 s$ ‍?
B. Hvad var gokartens forskydning mellem $t = 0 s$ ‍ og $t = 7 s$ ‍?

A. Udregning af gokartens acceleration ved $t = 4 s$ ‍

Vi kan bestemme accelerationen til tiden

t = 4 s

ved at udregne hældningen af hastighedskurven ved

t = 4 s

hældning = \frac{stigning}{fremdrift}

Lad os vælge (

3 s, 6 m/s

) som startpunkt (punkt 1) og (

7 s, 0 m/s

) som slutpunkt (punkt 2) og indsætte dem i formlen for hældning.

hældning = \frac{v_{2} - v_{1}}{t_{2} - t_{1}} = \frac{0 m/s - 6 m/s}{7 s - 3 s} = \frac{- 6 m/s}{4 s} = - 1, 5 \frac{m}{s^{2}}

acceleration = - 1, 5 \frac{m}{s^{2}}

B. Udregning af gokartens forskydning mellem $t = 0 s$ ‍ og $t = 7 s$ ‍

Vi kan bestemme gokartens forskydning ved at udregne arealet under hastighedsgrafen. Grafen kan opdeles som et rektangel (mellem

t = 0 s

t = 3 s

) og en trekant (mellem

t = 3 s

t = 7 s

). Når vi beregner arealet af disse figurer og lægger dem sammen, får vi den samlede forskydning.

Arealet af rektanglet findes ved

areal = h \cdot b = 6 m/s \cdot 3 s = 18 m

Arealet af trekanten findes ved

areal = \frac{1}{2} g h = \frac{1}{2} (4 s) (6 m/s) = 12 m

Summen af disse to arealer giver den samlede forskydning.

samlet areal = 18 m + 12 m = 30 m

samlet forskydning = 30 m

Vil du deltage i samtalen?

Log ind

Sortér efter:

Ingen opslag endnu.

Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.

Fysik Bibliotek