Potentiel energi lagret i en fjeder

Velkommen tilbage. Her har vi en grønne fjeder, og en væg herover. Fjederen sidder fast på væggen. Dette er, hvor fjederen er i hvile. Hvis jeg ikke skubber til fjederen vil den nå helt her ud til. Men i denne situation har jeg skubbet på fjederen, så længden er ændret x mod venstre. Vi vil mest se på størrelsen af kraften, og ikke hæfte os så meget ved retningen. Først vil jeg afbilde grafen for, hvor meget kraft der påvirker fjederen, når den sammenpresses. Dernæst vil jeg bruge denne graf til at finde ud af, hvor meget arbejde vi udførte, da vi pressede fjederen sammen. -- Jeg sammenpresser mod venstre. Måske jeg hellere skulle presse mod højre, nej, vi fokuserer jo på størrelsen af x -- Lad os lave en lille graf her. Dette er y-aksen og x-aksen. Denne akse er, hvor meget jeg har sammenpresset den, x. y- aksen er, hvor meget kraft der skal bruges. Fjederen starter helt her ude. Hvor meget kraft skal virke på den for at sammenpresse den en smule? Den er i hvile her. Vi ved fra Hookes lov, at den genoprettende kraft, F r, er lig med minus k, hvor k er fjeder konstanten, gange forskydningen. Det er den genoprettende kraft. Det er den kraft fjederen virker med på den, der sammenpresser den. Kraften, der bruges til at sammenpresse, har samme størrelse, men går i den i samme retning som x. Hvis jeg sammenpresser fjederen mod venstre, så vil min kraft også virke mod venstre. Jeg kalder den for den sammenpressende kraft, F c. Den sammenpressende kraft er lig med k gange x. Når fjederen er sammenpresset og ikke accelererer i nogen retning, så er den sammenpressende kraft lig med den genoprettende kraft. Jeg vil nu afbilde den sammenpressende kraft med hensyn til x. Jeg burde have afbildet det den anden vej, men jeg tror, du forstår, at x stiger mod venstre i mit eksempel? Her er x lig med nul. Her er x måske lig med 10, da vi har sammenpresset fjederen 10 m. Hvor meget kraft har vi påvirket fjederen med? Når x er nul, hvor meget kraft skal vi bruge for at presse fjederen sammen? Hvis vi bruger 0 kraft, så vil fjederen ikke flytte sig, men hvis vi bruger en super lille bitte mængde af kraft, så vil fjederen blive sammenpresset en lille smule. I det øjebik vil den sammenpressende kraft være tæt på nul. Når fjederen næsten ikke er sammenpresset, så er den kraft, der virker på den næsten nul. Vi skal bruge nul kraft for at ændre længden nul. For at sammenrpresse fjederen en lille smule skal vi bruge en smule mere kraft. Hvis vi forskyder den 1 m, -- lad os sige dette er 1 m -- hvor meget kraft skal vi så bruge for at fastholde den der? Den sammenpressende kraft er k gange 1, så k. Husk vi brugte ikke først 0 kraft og så k kraft, vi øger kraften en lille smule hele tiden. Når fjederen sammenpresses lige mere, så bruges en smule mere kraft. For at sammenpresse den 1 m skal du bruge k. Ved 2 m har du påvirket den med 2k, og så videre. Jeg tror, du kan se, at en linje bliver afbildet. Lad mig tegne linjen. Linjen ser nogenlunde sådan her ud. Det er, hvor meget kraft du skal bruge som en funktion af fjederens forskydning, væk fra dens hvile tilstand. Her har jeg positive x mod højre, men i dette tilfælde er positiv x til venstre. Jeg måler blot forskydningen og er ikke bekymret om retningen lige nu. Jeg vil gerne have du tænker lidt over, hvad der sker her. Du kan starte med at påvirke fjederen med en meget stor kraft. I så fald vil fjederen accelerere hurtigere, da den påvirkes af en meget større kraft end den genoprettende kraft. Den vil accelerere og springe tilbage og vi vil se på et eksempel på det. Men for at forskyde fjederen en vis afstand, så skal du gradvist øge kraften, så du lige akkurat overstiger den genoprettende kraft. Forhåbentlig giver det mening, og du forstår, at kraften kun stiger proportionalt som en funktion af forskydningen, fordi det er en lineær ligning. Hvad er hældningen? Hældning er stigning over fremdrift. Så hvis fremdriften er 1, hvad er så stigningen? Den er k. Hældningen af grafen er k. Lad os bruge grafen til at finde ud af, hvor meget arbejde vi skal udføre for at sammenpresse fjederen. Lad os sige, dette er x o. x er den variable, og x o er en bestemt værdi af x. Den kan være 10 eller noget andet. Lad os se, hvor meget arbejde vi skal udføre. Hvad er definitionen af arbejde? Arbejde er lig med kraften i retningen af forskydningen gange forskydningen. Hvor stor er forskydningen? Vi går fra nul til her, så er forskydningen så stor. Og hvilken kraft blev, der brugt? Kraften steg gradvist, så kraften er omkring så stor. Jeg estimerer. Du skal faktisk estimere. Kraften er denne lille firkant her. For at forskyde den en smule mere, så skal kraften øges en smule. Dette er kraften og dette er afstanden. Det udførte arbejde svarer til arealet under kurven. Hver af disse rektangler. Da højden af rektanglet er kraften, og bredden er forskydingen. Arbejdet er derfor summen af disse rektangler. De rektangler, jeg tegner, er i sig selv tilnærmede, da de ikke passer helt under linjen. Du skal lave dem mindre og mindre og mindre og lægge flere og flere sammen. Nu er vi i gang med at snakke om integral regning. Hvis du ikke er nået til integral regning endnu, så er det ok. Pointen er, at det arbejde vi udfører, svarer til arealet under denne linje. Det arbejde, der udføres, når fjederen sammenpresses x meter er arealet fra her til her. Som er? Det er en trekant, så vi skal kende grundlinjen, højden og gange med 1/2. Det er arealet af trekanten. Hvad er grundlinjen? Den er x o. Hvad er højden? Vi ved, at hældningen er k, så højden er x o gange k. Det punkt her er x o komma x o gange k. Hvad er det samlede areal under kurven Hvor meget arbejde blev udført for at sammenpresse fjederen x o meter? Det er grundlinjen, x o, gange højden, x o gange k. Dette skal ganges med 1/2, da det er en trekant. Det er lig med 1/2 k x o i anden. Jer, der kender til integraler, ved selvfølgelig at dette er lig med integralet af kx dx. Hvilket giver mening. Hvert af disse er små dx'er. Men jeg vil ikke bruge integraler nu, da det måske forvirrer folk. Dette er den samlede mængde arbejde, der skal udføres for at sammenpresse fjederen x o. Hvis vi vælger en afstand for x, så kan vi blot fjerne dette o. Hvorfor er dette nyttigt? Fordi det arbejde, der skal bruges til at, sammenpresse fjederen, svarer til den potentielle energi lagret i fjederen. Hvis jeg har en fjeder med en fjederkonstant på 10, og jeg presser den 5 meter sammen, så x er lig med 5 meter, hvor meget potentiel energi har fjederen så? Den potentielle energi er lig med 1/2 k ·x². Så den er lig med 1/2 gange k, som er 10, gange 25, så 125. Arbejde og potentiel energi måles i J. Det er noget, du skal huske. Det er bedre, hvis du forstår, hvor jeg har det fra, hvorfor jeg brugte 10 minutter på at forklare det. Det er det arbejde, der skal udføres for at sammenpresse fjederen hertil og hvor meget potentiel energi, der er lagret i den i den tilstand. Eller strukket med den afstand. Vi har presset sammen, men du kan også strække fjederen. Når du ved dette, kan vi begynde at løse opgaver med potentiel energi i fjedre, og det vil jeg gøre i næste video. Vi ses.