e som en grænseværdi

I en tidligere video så vi på en meget forenklet version af sammensat rente og skrev udtrykket (1 + 1/n)ⁿ som vi kom frem til ved at gennemgå et eksempel med en lånehaj, der krævede 100% i rente. Det er der 1-tallet kommer fra. Hvis du betalte 100% i rente 1 gang på et år, så er n lig 1 og du får (1 + 100/1)¹. Du skal betale det dobbelte af, hvad du lånte tilbage. Hvis n er 2, så bliver det (1+1/2)², som er 2,25. Du betaler halvdelen i rente, så 100/2, men du gør det 2 gange. Vi fortsatte og så interessante ting ske. Det kan vi gøre på denne lommeregner. Jeg vil se, hvad der sker, når n bliver større og større. I den sidste video gik vi til n = 365 og det så ud til at det nærmede sig et magisk tal. Men lad os fortsætte. Lad os bruge et rigtigt stort tal. 1 + 1/1.000.000, det er 1 milliontedel opløftet til en million. -- brugte jeg det rigtige antal nuller? Ja, det ser rigtigt ud -- Før jeg trykker enter, som bliver spændende, lad os tænke over, hvad der sker her. Den del vi har her, når n bliver større og større, så kommer den tættere og tættere på 1, men bliver aldrig præcist 1. Her er 1 og 1 milliontedel Den er meget tæt på 1, men ikke præcist 1. Vi opløfter det til en million og normalt, når du opløfter noget til en million, så bliver det et ubegrænset kæmpe tal. Men husk 1 opløftet til en million er stadig kun 1. Vi kommer tættere og tættere på 1, så det bliver måske ikke et ubegrænset tal. Når vi udregner det, så bliver det 2,71828 og fortsætter. Lad os gå endnu højere. Jeg tror, jeg vil bruge videnskabelig notation Lad os sige (1 + 1/1 * 10⁷) opløftet til 10⁷, hvad får vi så? Det bliver 2,718281692. Lad os gå endnu højere. I stedet for 10 opløftet til 7, lad os prøve 10 opløftet til 8. Vi får (1 + 1/ 100.000.000) opløftet til 100.000.000 -- jeg ved ikke om lommeregneren kan håndtere det -- og vi får 2,71828181487. Du kan se, at vi hurtigt nærmer os, -- eller måske ikke så hurtigt, da vi skal opløfte dette til en meget stor potens -- tallet e. Her er tallet i lommeregneren. Vi har allerede fået 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 af de rigtige decimaler. når vi opløfter til 100 millionte potens. Vi nærmer os dette tal. Vi kan sige, at dette er en grænseværdi, når n nærmer sig uendelige. Når n bliver større og større, så fortsætter dette ikke ubegrænset. Det fortsætter ikke mod uendelige. Det nærmer sig dette tal. Vi kalder dette magiske og mystiske tal for e. Dette tal e og dets cifre er næsten lige så berømte som cifrene i Pi. e er 2,7182818 og det fortsætter blot. Det gentager sig aldrig. Det er en uendelig lang række af cifre, der aldrig aldrig gentager sig selv. Ligesom π. π er forholdet mellem omkredsen og diameteren af en cirkel. e er et andet af disse skøre tal, der dukker op i universet. I andre videoer på Khan Academy skal vi lære, hvorfor det er så magisk og mystisk. Det er allerede ret sejt. Jeg kan lægge 1 over et tal til 1 og opløfter dette til tallet, og når jeg gør tallet større og større og større, så nærmer det sig dette tal. Hvad der er endnu mere skørt ved e, som hænger sammen med renters rente, er at e sammen med pi og den imaginære enhed, der er defineret som den i² er lig -1, alle hører sammen på en magisk og mystisk måde, som vi vil se nærmere på i andre videoer. Men tilbage til e. Ud fra det foregående eksempel kan du se, hvis du låner 1 dollar og skal betale 100% i rente på 1 år, så n er 1 og du skal blot betale for 1 termin. Når n er 2, er den sammensatte rente over disse 2 terminer. Når n er 3, så bliver den sammensatte rente over 3 terminer. Når n nærmer sig uendelige, så skal du betale hver fantasillion af et sekund. Hvert øjeblik pålægges en lillebitte smule rente, du nærmer dig et uendeligt antal gange og du får dette tal.