Ligninger med rationale (brøk) udtryk (eksempel 2)

Vi har her en pæn lille ligning, der indeholder nogle brøker. Som altid, sæt videoen på pause og se om du kan finde ud af, hvilket x der opfylder ligningen. Okay, lad os løse den sammen. Når jeg ser en nævner som denne, så vil jeg gerne fjerne den. Hvordan fjerner vi (x - 1) i nævneren på venstre side? Vi kan gange på begge sider af ligningen med (x - 1). Husk, det gøres for at fjerne (x -1) i denne nævner. For at fjerne (x + 1) i den anden nævner, så ganger vi på begge sider med (x + 1). Hvad har vi så? På venstre side har vi (x - 1) divideret med (x - 1), som er 1. Kun for de x'er, hvor den er defineret. Altså ikke for x lig 1. Tilbage har vi (x + 1) (-2x +4). Lad mig lige skrive det. Vi har (x + 1) (-2x +4) er lig med Når vi ganger begge disse med 3 over (x + 1), så går (x + 1) ud med (x + 1) og vi har 3(x -1) tilbage. Det kan skrives som 3x - 3 minus 1 gange begge disse. Altså -1(x - 1)(x + 1). Jeg gangede altså (x - 1)(x + 1) ind i parentesen på højre side. Når jeg ganger med det første led så gik (x + 1) og (x + 1) ud med hinanden. så jeg havde 3(x - 1). For det andet led gangede jeg dem begge med -1. Du ved måske, hvis jeg har (x + 1)(x - 1), så svarer det til (x² - 1). Jeg kan derfor skrive -(x² - 1). Det kunne jeg fordi (x + 1)(x - 1) er lig (x² - 1). Jeg vil ikke gøre for mange ting i hvert trin, så lad os lave en ny linje. Jeg kan gange dissse sammen. Det bliver x gange -2x, som er -2x². x gange 4 er +4x. 1 gange -2x er -2x. 1 gange 4 er +4. Dette er lig med 3x - 3 og vi kan gange -1 ind i parentesen og skrive -x² + 1. Vi kan nu reducere en smule. Dette bliver 4x - 2x, som er 2x. Sådan og her har vi -3 og +1, som er -2. Vi kan skrive det hele med en ny farve som -2x² + 2x + 4 er lig med -x² + 3x - 2. Lad os flytte det hele over på den venstre side. Vi lægger x² til på begge sider for at fjerne dette -x². Vi trækker 3x fra på begge sider og lægger 2 til på begge sider. Tilbage har vi -2x² + x² er -x². 2x - 3x er -x. +4 + 2 er +6 som er lig med -- alt dette kan fjernes -- er lig med 0. Jeg kan ikke lide dette negative fortegn på x², så lad os gange på begge sider med -1. Så skal jeg gange hvert led med -1, og jeg får x² + x - 6 er lig 0. Det går fremad. Nu kan vi faktorisere. Jeg skriver det her, så vi kan se den oprindelige ligning. Hvilke to tal har et produkt, der er -6? De skal have forskelligt fortegn, da deres produkt er negativt. Deres sum er 1. Koefficienten på første gradsleddet. +3 og -2 passer. Jeg kan omskrive dette til (x + 3)(x - 2) er lig 0. Gjorde jeg det rigtigt? Ja. 3 gange -2 er -6. 3x - 2x er +x. Jeg har omskrevet denne andengradsligning til faktorisret form. Denne ligning bliver lig 0, hvis en af disse er lig 0. x + 3 er lig 0 eller x - 2 er lig 0. Det sker når -- trækker 3 fra på begge sider -- Det sker når x er lig -3 eller -- lægger 2 til på begge sider -- x er lig 2. Begge disse vil opfylde ligningen, men vi skal passe på. Vi skal tjekke om den oprindelige ligning er defineret for begge disse. -3 gør ikke nogle af disse nævnere lig 0, så den er fin. +2 gør heller ikke nogle af nævnerne lig 0. Så alt ser godt ud. Der er to løsninger til ligningen. Hvis en af dem havde gjort nævnerne lig 0, så ville den havde været en falsk løsning. Den ville have været en løsning til nogle af de mellemliggende trin, men ikke til den oprindelige ligning. Men ingen af disse gør nævnerne lig 0.