Grafisk løsning af ligninger: tekstopgaver

En forsker undersøger væksten af bakterier ved at måle det areal i kvadratmillimeter, der er dækket af bakterier. Væksten af bakterier kan modelleres med f(t) er lig 24 e^(0,4t), hvor t er antallet af timer efter forsøget begyndte. Her er grafen for f(t). Så outputtet af f(t) er altså antallet af mm² efter t timer. Her har vi grafen. Vi kan se, når tiden går, så vokser antallet af mm², altså arealet dækket af bakterier med hvad der ser ud til at være eksponentiel vækst. Vi ved jo, at det vokser eksponentielt, da dette er en eksponentiel funkton. Der står, hvornår dækker populationen for første gang et areal på 400 mm²? Sæt videoen på pause og find ud af det. Okay, dette er et screenshot fra en øvelse på Khan Academy. Hvornår dækker populationen for første gang et areal på 400 mm²? 400 mm² ligger lige her og det ser ud til at være efter 7 timer. Efter 7 timer er der 400 mm² eller mere. Første gang er efter 7 timer. De næste eksempler vi skal lave bygger på denne opgave, så jeg går herop igen. Vi får samme information som før, at der bruges mm² til at måle vækst og her er funktionen igen. Men i den næste linje står der, her er grafen for f og grafen for linjen y er lig 600. Der er tilføjet en linje. Så står der, hvilke svarmuligheder beskriver korrekt betydningen af skæringspunktet mellem graferne? Okay, lad os kigge på mulighederne. Og der står vælg alle svar der passer. Sæt videoen på pause og se, om du kan svare på det. Mulighed A siger, det svarer til det antal timer, det tog populationen at dække 600 mm². Hvilke svarmuligheder beskriver korrekt betydningen af skæringspunktet mellem graferne. Der menes altså dette punkt lige her. Svarer det til det antal timer, det tog populationen at dække 600 mm²? Det er faktisk det antal timer, det tog populationen at dække 600 mm², da dette er linjen y er lig 600 mm². Jeg vælger den svarmulighed. Den næste mulighed. Det er løsningen til ligningen 24 e^(0,4t) = 600. Tænk over det. Her med blåt har vi, y = 24 e^(0,4t). Dette er y er lig 600. Den t-værdi, hvor graferne er lige store, der er de lig den samme y-værdi. Man kan sige, at den her er lig den her. Så 24 e^(0,4t) = 600. Den er også god. Det har den t værdi, hvor ligningen er sand så det er løsningen til ligningen. Det svarer til det tilfælde, hvor populationen dækker et areal, der er lig antallet af timer. Den er helt sikkert ikke korrekt, da arealet her er 600 mm² og antallet af timer ser ud til at være lidt over 8, så de er helt sikkert ikke ens. Det svarer til det areal populationen dækker efter 600 timer. Nej, vi behøver slet ikke kigge efter. t-aksen går slet ikke op til 600 timer, så den vælger vi heller ikke. Lad os fortsætte og gå til den næste del, hvor der står, -- endnu engang vi måler arealet i mm² for at finde populationens vækst -- Her har vi to populationer. Væksten af population A kan modelleres med f(t), som er lig dette her. Den kender vi allerede, men nu tilføjes endnu en population. Væksten af population B kan modelleres med g(t), der er lig dette her, hvor t er antallet af timer efter forsøget startede. Her graferne for f og g. Nu har vi to populationer. De vokser begge eksponentielt men med forskellige hastigeder. Så står der, hvornår dækker populationerne det samme areal? Afrund dit svar til nærmeste heltal. Du kan sætte videoen på pause og tænke over det, hvis du vil. Okay, vi kan tydeligt se, at de skærer hinanden lige her. Det er det punkt, hvor de dækker det samme areal. Det ser ud til at være omkring 175 mm², men der spørges ikke om arealet. Der står, hvornår sker det? Det ser ud til at ske ved omkring 5 timer. Afrundet til nærmeste heltal er 5 timer. Nu til den sidste del. Det er det samme udgangspunkt, men et andet spørgsmål. Der står, Hvilke svarmuligheder beskriver korrekt betydningen af skæringspunktet mellem graferne? Sæt igen videoen på pause og prøv at svare selv. Okay, mulighed A siger, det viser at populationerne begge dækker omkring 180 mm² på det samme tidspunkt. Lad os se efter. Det ser rigtigt ud. Jeg anslog værdien 175, men vi kan sige 180. og det ser ud til at ske efter omkring 5 timer. De dækker det samme areal på det samme tidspunkt. Det er et godt valg. Det betyder, at population A oprindelig var større end population B. Skæringspunktet fortæller os ikke, hvilken population der oprindelig var større. Vi kan svare på det ved at kigge her hvor t er lig 0. Når t er lig 0, så er population A med den blå graf mærket f større end population B. Men det er ikke, hvad skæringspunktet fortæller. Vi bliver ikke bedt om, at vælge sande udsagn, men udsagn der beskriver betydningen af skæringspunktet mellem de to grafer. Det fortæller os ikke om den oprindelige situation. Det er løsningen til ligningen 24 e^(0,4t) = 9 e^(0,6t). Det har vi allerede snakket om i en tidligere del, hvor der kun var en graf. Og det er korrekt, da y = 24 e^(0,4t) og svarer til grafen for population A og y = 9 e^(0,6t) og svarer til grafen for population B. Så skæringspunktet mellem de to grafer det er det punkt, hvor dette udtryk har samme y-værdi, som dette udtryk. Eller det er den t-værdi, hvor dette er lig dette. Så skæringspunktet svarer til løsningen til ligningen. Den sidste mulighed siger, det er løsningen til ligningen 24 e^(0,4t) = 0? Nej det sker, der hvor grafen er lig 0 -- jeg gør det med en anden farve -- og det er her, hvor denne linje skærer grafen for f, som er lig 24 e^(0,4t). Det er ikke, hvad dette skæringspunkt beskriver, så vi vælger helt sikkert ikke denne heller.