Trigonometriske værdier for x = π/4

Her har vi tegnet en enhedscirkel, med centrum i punkt A og punkt B ligger på cirklen. Vi har tegnet en lodret linje fra B til D, hvor punkt D ligger på x-aksen. De udgør trekanten ABD. Der står, at vinkel BAD har værdien π/4 radianer. Jeg vil nu bruge vort kendskab til trigonometri og kendskab til trekanter til at bestemme flere ting. Det første vi vil se på er, hvad vinkel ABD måler i radianer? Lad os først gøre det, og så vil jeg tale om de andre ting vi skal finde. Jeg antager, at du satte videoen på pause og selv forsøgte at lave den. Hvad er vinkel ABD? Vi kender to vinkler i trekanten, og når vi kender to vinkler, kan vi bestemme den tredje. Nu virker det måske lidt uvant, vi plejer at sige summen af de indvendige vinkler er 180 grader, men nu taler vi om vinkler i radianer. Summen af vinklerne i en trekant er, i stedet for 180 grader -- 180 grader er det samme som π radianer -- Så denne vinkel plus den plus den skal give π. Så lad os sige, ∠ABD i radianer + π/4 + denne er rette vinkel -- Hvad er det i radianer? En ret vinkel i radianer, en 90-graders vinkel i radianer, er π/2 radianer -- så + π/2. Summeren af de indvendige vinkler i trekanten er π radianer. Som selvfølgelig det samme som 180 grader. Nu kan vi isolere ∠ABD. ∠ABD = π - π/2 - π/4. Jeg trak disse fra begge sider. Dette giver derfor, vi laver fællesnævner på 4, så denne er 4π/4, denne er - 2π/4, og denne er selvfølgelig - π/4. Så 4 - 2 - 1 giver 1. Vi får dermed π/4. ∠ABD = π/4. Den vinkel lige der er altså π/4. Hvad kan vi bruge det til? Vi ved dette er π/4, og dette er π/4 radianer. Vi ved, dette er en enhedscirkel, så længden af linje AB, som er radius i cirklen, er 1. Hvad mere ved vi om trekanten? Kan vi beregne længden af AD og længden af DB? Ja vi kan. Vi har to vinkler, som er lige store. Det betyder, at de tilsvarende sider også er lige store. Det betyder, at denne side er kongruent med den side. Jeg kan vise den på en anden måde og gøre det lettere at se. Hvis vi vender den rundt. -- Jeg prøver at få den til at ligne en retvinklet trekant -- Sådan her. Her er D, her er B og her er A. Dette er den rette vinkel. Denne er π/4 radianer og denne er også π/4 radianer. Når de to grundvinkler er ens, så ved vi, der er tale om en ligebenet trekant. De er ikke alle lige lange, så det er ikke en ligesidet trekant. Hvis alle vinklerne var ens, er det en ligesidet trekant. Dette er en ligebenet trekant. Når grundvinklerne er ens, så ved vi, at de tilsvarende sider er ens. Disse to sider er ens, det er en ligebenet trekant. Hvordan hjælper det os med at bestemme siderne? Hvis denne side er x, så må denne side også være x. Hvis denne er x, må denne også være x. Nu kan vi benytte Pythagoras sætning. x² + x² er lig med hypotenusen i anden, så 1². Vi kan skrive 2x² = 1, eller at x² =1/2. Vi tager kvadratroden på begge sider. Vi får x lig med 1 over kvadratroden af 2. Mange bryder sig ikke om et rodtegn i nævneren, altså et irrationalt tal i nævneren. Så vi gør den rational, ved at gange med kvadratroden af 2 i tæller og nævner. Tælleren er kvadratroden af 2, og nævneren bliver .. kvadratroden af 2 gange kvadratroden af 2 giver bare 2. Vi har allerede udledt flere spændende ting. Vi har bestemt ∠ABD i radianer. Vi har bestemt længden af AD, og længden af BD. Nu skal vi finde ud af, hvad sinus, cosinus og tangent til π/4 er ved at bruge det vi kender. Hvad betyder sinus? Jeg tegner i orange. Ud fra hvad vi ved, hvad er sinus til π/4? Igen, sæt videoen på pause og tænk over enhedscirklens definitionerne af de trigonometriske funktioner, og hvad svaret er. Enhedscirklens definition af de trigonometriske funktioner siger denne vinkel på π/4 radianer danner en vinkel med den positive x-akse. Skæringspunktet mellem det andet vinkelben og enhedscirklen har x- og y-koordinater der svarer til cosinus og sinus. Retningspunktets koordinater er cosinus til π/4 er x-koordinaten, og sinus til π/4 er y-koordinaten. Hvad er y-koordinaten? Sinus til π/4? Det er denne længde, som er den samme denne længde, som er x, som er kvadratroden af 2 over 2. Hvad er cosinus til π/4? Igen, sæt videoen på pause og tænk over svaret. Hvad er x-koordinaten? x-koordinaten er denne længde, som igen er x, som er kvadratroden af 2 over 2. Hvad er tangent til π/4? Tangent til π/4 er lig sinus til π/4 over cosinus til π/4. Begge disse tal er helt ens. De er begge kvadratroden af 2 over 2. Vi har kvadratrod 2 over 2 over kvadratrod 2 over 2, som blot er 1. Det giver mening for husk på tangent til denne vinkel er hældningen til linjen. Vi kan se på hældningen, at hver gang man går x ud, så kommer vi også x op. Ændring i y over ændring i x er bare x over x, som er lig med 1.