Skæringspunkter mellem y=sin(x) og y=cos(x)

Vi bliver spurgt, i hvor mange punkter skærer grafen for y = sin(θ) og grafen for y = cos(θ) hinanden, når θ er mellem 0 og 2π? Det er 0 ≤ θ ≤ 2π. Vi inkluderer altså 0 og 2π i de mulige værdier af θ. For at svare på dette, har jeg lavet en lille tabel for θ, cos(θ) og sin(θ). Vi kan bruge den sammen med enhedscirklen til forhåbentlig hurtigt at tegne graferne for y = sin(θ) og y = cos(θ). Bagefter kan vi se, hvor mange gange de skærer hinanden og måske hvor de skærer hinanden. Lad os komme i gang. Dette er en enhedscirkel. Dette er x-aksen og dette er y-aksen. Her skal vi afbilde de to grafer. Så dette er y-aksen som er en funktion af θ, ikke x, på den vandrette akse. Lad os først se, hvad der sker, når θ er lig 0. Når theta er lig 0, så er du i dette punkt lige her. Hvad er koordinatsættet her? Dette er punktet (1,0). Ud fra dette kan vi se, at cos(0) = 1 og sin(0) = 0. Dette er x-koordinaten af skæringspunktet med enhedscirklen. Dette er y-koordinaten. Lad os fortsætte. Hvad med π/2? Når θ er π/2, så er vi lige her. Hvad er koordinatsættet? Det er x er lig 0 og y er lig 1. Derfor er cos(θ) = 0 og hvad med sin(θ)? Det er 1. Det er denne y-koordinat. Lad os fortsætte til π. Vi er nu i dette punkt på enhedscirklen. Hvad er koordinatsættet? Det er (-1,0). Hvad er cos(θ)? Det er denne x-koordinat, som er -1. sin(θ) er y-koordinaten, som er 0. Lad os fortsætte. Nu er vi hernede ved 3π/2. Når vi går hele vejen rundt til 3π/2, hvad er så koordinatsættet? Det er (0,-1). cos(θ) er denne x-koordinat, så cos(θ) er 0. Hvad er sin(θ)? Den er -1. Til sidst er vi ved 2π og har lavet en hel omgang på cirklen. Vi er gået hele vejen rundt og er tilbage i dette punkt. Så koordinatsættet er præcis det samme, som når vinklen er lig 0 radianer. Hvad er cos(θ)? Den er 1 og sin(θ) er 0. Ved at bruge dette kan vi lave en skitse af graferne og se, hvor de skærer hinanden. Lad os først lave cos(θ). Lad mig lige markere. Her er y er lig 1 og her er y lig -1. For y = cos(θ) gælder, når θ er lig 0, så er cos(θ) lig 1. Når θ er lig π/2, så er cos(θ) lig 0. Når θ er lig π, så er cos(θ) lig -1. Når θ er lig 3π/2, så er cos(θ) lig 0. Det er den lige her. Til sidst, når θ er lig 2π, så er cos(θ) endnu engang lig 1. Grafen vil se nogenlunde således ud. Min bedste frihåndstegning. En pæn blød kurve, der ser nogenlunde således ud. Du burde genkende disse grafer nu. Den ser nogenlunde således ud. Dette er grafen for y = cos(θ). Lad os nu gøre det samme for sin(θ). Når θ er lig 0, så er sin(θ) lig 0. Når θ er lig π/2, så er sin(θ) lig 1. Når θ er lig π, så er sin(θ) lig 0. Når θ er lig 3π/2, så er sin(θ) lig -1. Når θ er lig 2π, så er sin(θ) lig 0. Grafen for sin(θ) ser nogenlunde såldes ud. Igen mit bedste forsøg på en frihåndstegning. Nu kan vi se nærmere på spørgsmålet. Hvor mange gange skærer graferne y = sin(θ) og y = cos(θ) hinanden i dette interval af θ? Når θ er mellem 0 og 2π. Inklusiv begge punkter? Du kan blot kigge på grafen og se, at der er to skæringspunkter. Dette punkt her og dette punkt der. Det er mellem 0 og 2π. Dette er periodiske grafer, så vil de fortsætte med at skære hinanden. Men i dette interval på 2π er der to skæringspunkter. Lad os se, hvad de er. De ser ud til at ligge midt mellem 0 og π/2 og mellem π og 3π/2. Lad os kigge på enhedscirklen og finde ud af, hvad værdierne er. Det ser ud til at dette er π/4. Lad os tjekke, om det er korrekt. Lad os finde ud af, hvad værdierne er, når theta er π/4. π/4 har det andet vinkelben her. π/4 er det samme som en vinkel på 45 grader. Lad os udregne værdierne for π/4. Vi skal finde ud af, hvilke koordinater dette punkt har. Lad os lave en retvinklet trekant. Dette er en retvinklet trekant. Hvad ved vi om denne retvinklet trekant? Jeg tegner den lige her over, så den bliver lidt mere tydelig. Dette er en særlig trekant, så den er god at kende. Lad mig tegne den, så godt jeg kan. Dette er en retvinklet trekant. Dette er en 45 graders vinkel. Hvad er længden af hypotenusen? Da dette er en enhedscirkel, så har den radius 1, så længden af hypotenusen er 1. Hvad ved vi om denne vinkel? Vi ved, at den også er 45 grader, da alle vinklerne har en sum på 180. Da disse to vinkler er lige store, så er disse to sider også lige store. Nu kan vi bruge Pythagoras' læresætning til at finde længden af disse sider. Når vi bruger Pythagoras' læresætning og disse to sider er lige lange, hvilken længde har de så? Hvis den her har længden a, så har denne også længden a. Nu kan vi bruge Pythagoras' læresætning og sige at a² + a² er lig hypotenusen i anden, som er lig 1. Eller 2a² = 1. a² = 1/2. Vi tager kvadratroden på begge sider, a = √(1/2), som svarer til √1, som er 1, over √2. Vi kan fjerne rodtegnet i nævneren ved at gange med √2 / √2. Så får vi a er lig √2 / (√2 ∙ √2), som er 2. Længden er √2 / 2. Længden af denne er den samme. Så denne længde er √2 / 2 og denne højde er også √2 / 2. Ud fra dette hvad er så koordinatsættet? Det er √2/2 i den positive retning, så x er lig √2/2. y er lig √2/2 opad i den lodrette retning, så y er også √2/2. cos(θ) svarer til x-koordinaten så det er √2/2. sin(θ) svarer til y-koordinaten. Du kan med det samme se, at de er ens i dette punkt. I dette punkt er de begge lig √2/2, Hvad med dette punkt her? Det ser ud til at være mellem π og 3π/2. Dette er π og dette er 3π/2, så dette er π/4 plus π eller π + π/4, som er det samme som 4π/4 + π/4. Denne vinkel er 5π/4. Dette er 5π/4. Vi skal finde ud af, hvad værdien af disse funktioner er, når θ er lig 5π/4? Det kan vi gøre på flere måder. Vi kan bruge lidt geometri. Hvis denne vinkel er 45 grader, så er denne vinkel også 45 grader. Vi kan gøre det vi gjorde før. Vi kan tegne en retvinklet trekant. Vi ved, at hypotenusen er 1. Vi ved, det er en retvinklet trekant. Dette er 45 grader. Hvis det er 45 grader, så er dette også 45 grader. Vi har to kongruente trekanter. Hypotenusen er 1, 45-45-90, Vi ved, at længden af denne side er √2/2 og længden af denne side er √2/2. Vi bruger samme logik som før. Ud fra det hvad er så koordinatsættet af dette punkt? Lad os se på x-værdien. Den er √2/2 i den negative retning, så vi går √2/2 mod venstre fra origo, så det er minus √2/2. Dette punkt her på x-aksen er -√2/2. Hvad med y-værdien? Vi går √2/2 nedad fra origo, så den er også -√2/2. cos(θ) er -√2/2 og sin(θ) er ligeledes -√2/2. Vi har den samme værdi for cos(θ) og sin(θ). De er begge lig med -√2/2.