Sammenhæng mellem grænseværdi og graf

Her har vi grafen for y er lig g(x). Jeg vil gerne bestemme grænseværdien for g(x), når x nærmer sig 5. Vi har gjort dette flere gange før. Lad os se på, hvad g(x) nærmer sig, når x nærmer sig 5 fra venstre. g(x) nærmer sig -6. Når x nærmer sig 5 fra højre så ser det ud til at g(x) nærmer sig -6, En rimelig vurdering ud fra grafen er, når x nærmer sig 5, så nærmer g(x) sig -6. Det er værd at bemærke, at det ikke er det samme som g(5). g(5) har en anden værdi. Hele pointen med denne video er at værdsætte, hvad en grænseværdi er. En grænseværdi beskriver kun funktionens adfærd, når den nærmer sig et punkt. Den fortæller os ikke præcis, hvad der sker i det punkt, hvad g(5) er. og den siger ikke meget om resten af funktionen eller grafen. For eksempel kan jeg lave mange forskellige funktioner med en grænseværdi, når x nærmer sig 5, som er -6 og de kan se meget anderledes ud end g(x). For eksempel kan jeg sige at grænseværdien for f(x), når x nærmer sig 5, er lig -6. og jeg kan lave en sådan f(x) og den kan se meget anderledes ud end g(x). Hvis du har lyst, sæt videoen på pause og se om du kan gøre det samme. Prøv at skitsere den på noget papir. Det vigtige her er funktionens adfærd, når x nærmer sig 5 fra begge sider, fra venstre og fra højre, så skal den nærme sig -6. For eksempel en funktionen, der ser således ud... Lad mig tegne f(x). En f(x) der ser således ud. Den er også defineret lige her. Den gør noget i denne retning. Den passer. Når vi nærmer os fra venstre, så nærmer vi os -6. Når vi nærmer os fra højre, så nærmer vi os -6. Du kan have en funktion, hvor grænseværdien for --lad os sige den hedder h(x)-- h(x), når x nærmer sig 5, er -6. Det kan være denne funktion, som måske er defineret hertil. Så har du en cirkel og den forsætter. Den er måske ikke defineret for alle disse værdier og hernede er den måske defineret for alle x-værdier større end eller lig 4 og den går gennem -6. Bemærk, alle disse funktioner, når x nærmer sig 5, har alle en grænseværdi og den er lig -6. Men disse funktioner ser meget meget meget forskellige ud. En anden ting at værdsætte for en givet funktion er --lad mig slette disse-- at vi nogle gange bliver bedt om at bestemme en grænseværdi, når x nærmer sig en spændende værdi. For eksempel, når x nærmer sig 5, så ser 5 spændende ud, da vi har et diskontinuitetspunkt. Men du kan bestemme grænseværdien for et uendelige antal punkter for denne funktion. Du kan sige, grænseværdien for g(x), når x nærmer sig 1. Hvad er den? Sæt videoen på pause og prøv at finde ud af det. Lad os se. Når x nærmer sig 1 fra venstre side, så ser det ud til, at vi nærmer os denne værdi. Når nærmer sig 1 fra højre side, så ser det ud til, at vi nærmer os denne værdi. Den er lig g(1). Den er lig g(1) ud fra, hvad det er rimeligt at antage ud fra grafen. Vi kan skønne at g(1) er omkring -5,1 eller -5,2. Vi kan bestemme grænseværdien for g(x), når x nærmer sig 𝜋. 𝜋 er her omkring. Når x nærmer sig 𝜋 fra venstre, så nærmer vi os den værdi, som ser ud til at være ret tæt på den værdi vi havde før. Når vi nærmer os fra højre, så nærmer vi os den værdi. Og igen i dette tilfælde er den lig g(𝜋). Vi har ikke nogle spændende diskontinuiteter eller lignende her. Der er to vigtige pointer. Du kan lave mange forskellige funktioner, der har samme grænseværdi ved et punkt. Og for en given funktion kan du bestemme grænseværdien mange steder, faktisk uendelig mange steder. Det er vigtigt at understrege, fordi vi ofte kun snakker om grænseværdier ved punkter, hvor der sker noget mærkeligt.