Grænseværdier med rationalisering

Lad os se, om vi kan finde grænseværdien når x nærmer sig -1, for (x + 1)/√(x + 5) - 2. Vores første indskydelse er måske at bruge vores regneregler for grænseværdier. Dette er det samme som grænseværdien, når x nærmer sig -1 for (x + 1) over grænseværdien, når x nærmer sig -1, for √(x + 5) - 2. Så ser vi på det heroppe, x + 1. Grafen for y = x + 1 er kontinuert overalt også ved x er lig -1. For at udregne denne grænseværdi, så skal vi blot udregne udtrykket, når x er lig -1. Tælleren bliver blot -1 + 1. I nævneren er √(x + 5) - 2 ikke kontinuert overalt, men den er kontinuert ved x er lig -1. så vi kan gøre det samme. Vi kan indsætte -1 i stedet for x, så det bliver √(-1 + 5) - 2. Hvad får vi så? I tælleren får vi 0. I nævneren får vi -1 + 5, som er 4. √4 er 2 og -2 og vi får igen 0. Vi får 0 / 0. Når du ser dette er du måske fristet til at give op. Der er 0 i nævneren, så grænseværdien eksisterer nok ikke. Er jeg færdig? Hvad gør jeg? Hvis det var alt andet end 0 i tælleren. Hvis du et tal forskelligt fra 0 divideret med 0, så er det udefineret, og grænseværdien eksisterer ikke. Men når du har 0/0, så er det på udefineret form og det betyder ikke nødvendigvis, at grænseværdien ikke eksisterer. I denne og mange andre videoer vil vi se, at der er værktøjer som vi kan bruge til at komme videre herfra. Lad os se på et af dem. Det værktøj vi skal se på er, at omskrive udtrykket så vi kan udregne dets grænseværdi uden at få 0/0. Lad os tage dette udtryk og sige det er g(x). Vi skal altså finde grænseværdien for g(x) når x nærmer sig -1. Vi kan skrive, at g(x) er lig x + 1 /... Grunden til jeg definerer det som en funktion, er så jeg bedre kan tænke på det som en funktion og omskrive den og sammenligne med andre lignende funktioner. g(x) = (x + 1)/√(x + 5) - 2. Den metode vi her skal bruge, når du får noget på udefineret form og du har en kvadratrod i enten tælleren eller nævneren er at slippe af med rodtegnet og dette kaldes ofte rationalisering af udtrykket. Her har vi en kvadratod i nævneren, så vi skal rationalisere nævneren. Det kan vi gøre ved at bruge vores viden om tredje kvadratsætning. Vi ved, at (a + b)(a - b) = a² - b². Det har du lært i algebra - engang. Eller hvis vi har (√a + b) og vi ganger det med (√a - b), så får vi (√a)² som blot er a og - b². Vi kan bruge disse regler til at fjerne rodtegnet hernede. Det gør vi ved at gange tæller og nævner med √(x + 5) + 2, ikke? Vi har -2, så vi ganger det med +2 Lad os gøre det. Vi ganger med √(x + 5) + 2 og tælleren ganger vi med det samme, så vi ikke ændrer værdien af udtrykket. Dette er 1. Et udtryk divideret med det samme udtryk er 1. Vi har altså √(x + 5) + 2 heroppe. Det bliver lig med (x + 1)(√(x + 5) + 2) og i nævneren bliver det (√(x + 5))², som blot er (x + 5) og -(2)² som er -4. Hernede kan vi reducere x + 5 - 4 til x + 1. Nu ser du nok med det samme, at både tæller og nævner har x + 1. så det kan vi reducere og sige, at g(x) = √(x + 5) + 2. Nu vil nogle af jer måske synes, der er noget galt her og I har helt ret. Er dette helt sikkert det samme, som vores oprindelige udtryk inden vi fjernede (x + 1)? Og svaret er, når jeg har skrevet det på denne måde, så er det ikke helt det samme. Det er helt det samme overalt, undtagen når x er lig -1. Dette er defineret, når x er -1. Dette er ikke defineret, når x er -1. Det går ikke godt, når du indsætter x er lig -1 i g(x). For at dette kan være helt det samme som g(x). Helt den samme funktion, så skal vi sige, at x ikke kan være lig -1. Nu er dette en reduceret udgave af g(x). Det er det samme for ethvert input af x, hvor g(x) er defineret, så du får det samme output. Nu hvor vi har begrænset definitionsmængden, så er det helt det samme som g(x). Nu spørger du måske, men hvordan hjælper det os? Vi skal finde grænseværdien, når x nærmer sig -1 og her har jeg lige tilføjet betingelsen, at x ikke kan være -1, Hvad med grænseværdien? Heldigvis for os, så ved vi, hvis vi tager en anden funktion f(x) og siger at f(x) = √(x + 5) + 2, så ved vi, at f(x) er lig g(x) for alle x forskellig fra -1. f(x) ikke har denne begrænsning. Hvis dette er sandt for to funktioner, så vil grænseværdien for f(x), når x nærmer sig -1 er lig grænseværdien for g(x), når x nærmer sig -1. Dette er jo det vi gerne vil bestemme fra begyndelsen. Men vi kan nu bruge f(x), da det kun er i x er lig -1, at de ikke er ens. Hvis du tegner g(x), så har den et diskontinuitetspunkt her ved x er lig -1 Hvad er grænseværdien? Vi er næsten i mål. Hvad er grænseværdien for f(x)? Eller vi kan sige grænseværdien for √(x + 5) + 2, når x nærmer sig -1. Dette udtryk er kontinuert eller snarere denne funktion er kontinuert ved x er lig -1, så vi kan blot udregne værdien for x er lig -1. Det bliver √(-1 + 5) + 2. √4 er 2. 2 + 2 er lig 4. Da grænseværdien for f(x), når x nærmer sig -1, er 4, så er grænseværdien for g(x), når x nærmer sig -1 også 4. Hvis dette lille spring jeg har lavet ikke helt giver mening for dig, lad os visualisere det. Dette er min y-akse og dette er min x-akse. g(x) ser nogenlunde således ud og den har et hul ved -1. Hvorimod f(x) har den samme graf bortset fra den ikke har et hul. Hvis du skal bestemme grænseværdien så virker det rimeligt at bruge f(x) og udregne værdien af f(x) og så at sige fylde hullet ud ved x er lig -1. Forhåbentlig hjælper den grafiske udgave, hvis den forvirrer, så glem den.