If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Hvis du sidder bag et internet-filter, skal du sikre, at domænerne *. kastatic.org og *.kasandbox.org ikke er blokeret.

Hovedindhold

Emne: (AP® ︎ Differentialregning AB > Emne 1

Modul 7: Bestemme grænseværdier: strategi
Matematik
AP® ︎ Differentialregning AB
Grænseværdier og kontinuitet
Bestemme grænseværdier: strategi
© 2024 Khan AcademyBrugerbetingelserFortrolighedspolitikCookiemeddelelse

Bestemme grænseværdi: strategi

Google Classroom
Der er mange metoder til at bestemme grænseværdier, som kan bruges under forskellige forhold. Det er vigtigt at kende alle disse metoder, men det er også vigtigt at vide, hvornår man skal anvende hvilken metode.
Her er et godt flow-diagram, som kan hjælpe, når du skal bestemme grænseværdier.
Udregning af grænseværdien for f af x, når x nærmer sig a. Et flowdiagram har valgmulighederne fra A til H. Man starter ved A Substitution. Prøv at udregne grænseværdien med udtrykket som det er. Udregning af f a giver tre muligheder. Når f af a giver b divideret med 0, hvor b er ikke nul går man til valgmulighed B Asymptote. Formentlig har funktionen en asymptote. Et eksempel er vist. Grænseværdien, når x nærmer sig 1 for udtrykket 1 over x minus 1. Efter eksemplet står tjek med en graf eller tabel for at læse mere om funktionen ved x er lig a. Når f af a giver b, hvor b er et reelt tal, går man til valgmulighed C Grænseværdi. Formentlig har man udregnet grænseværdien b. Et eksempel er vist. Grænseværdien, når x nærmer sig 3 for x i anden, som er lig 3 i anden som er lig 9. Når f af a giver 0 divideret med 0 går man til valgmulighed D. Udefineret form. Et eksempel er vist. Grænseværdien, når x nærmer sig minus 1 for udtrykket x i anden minus x minus 2 alt sammen over udtrykket x i anden minus 2 x minus 3. Fra valgmulighed D kan man forsøge at omskrive udtrykket med tre metoder. Valgmulighed E faktorisering. Et eksempel er vist. Grænseværdien, når x nærmer sig minus 1 for udtrykket x i anden minus x minus 2 alt sammen over udtrykket x i anden minus 2 x minus 3. Udtrykket kan omskrives til grænseværdien, når x nærmer sig minus 1 for udtrykket x minus 2 alt sammen over x minus 3 med faktorisering og reducering. Valgmulighed F: Rationalisering. Et eksempel er vist. Grænseværdien, når x nærmer sig 4 for udtrykket kvadratrod x minus 2 alt sammen over udtrykket x minus 4. Udtrykket kan omskrives til grænseværdien, når x nærmer sig 4 for udtrykket 1 over kvadratrod x plus 2 med rationalisering og reducering. Valgmulighed G: trig regneregler. Et eksempel er vist. Grænseværdien, når x nærmer sig 0 for udtrykket sinus af x over udtrykket sinus af 2 x. Udtrykket kan omskrives til grænseværdien, når x nærmer sig 0 for udtrykket 1 over 2 gange cosinus af x med trigonometriske regneregler. Uanset om man vælger E, F eller G, så prøver man at udregne grænseværdien med det nye udtryk og går tilbage til A, Substitution. Hvis man efter D ikke kan omskrive udtrykket går man til valgmulighed H. Tilnærmelse. Når alt andet fejler, lav en tilnærmelse af grænseværdien med grafer eller tabeller.
1: Du starter med substitution. Brug kun andre metoder, når dette mislykkes, da du ellers ender med at lave mere arbejde, end du behøver at gøre. For eksempel ville det være ekstra arbejde at faktorisere et udtryk, hvis substitution fungerer for det oprindelige udtryk.
2: Der er stor forskel på at få b/0 og 0/0 (hvor b≠0). Når du får b/0, så eksisterer grænseværdien formentlig ikke, fordi der er en lodret asymptote. Når du derimod får 0/0, kan du ikke nøjes med at bruge substitution til at finde ud af, om grænseværdien eksisterer, hvilket er grunden til at det kaldes den udefineret form. I stedet går du til den nederste halvdel af flowdiagrammet.
Bemærk: Der er en effektiv metode til at bestemme grænseværdier kaldet l'Hôpital's regel, som du vil lære om senere. Den er ikke medtaget her, fordi vi endnu ikke har lært om differentiering.

Substitution

Opgave 1
g(x)=x−3x+5−3
Vi skal bestemme limx→4g(x).
Hvad sker der, når vi bruger substitution?
Vælg 1 svar:

Opgave 2
h(x)=1−cos⁡(x)2sin2⁡(x)
Vi skal bestemme limx→0h(x).
Hvad sker der, når vi bruger substitution?
Vælg 1 svar:

Hvad gør vi, når vi får den udefineret form?

Opgave 3
Justin forsøger at bestemme limx→−1x+1x2+3x+2.
Efter at have brugt substitution får han 00.
Hvilke metode vil nok være bedst for Justin at prøve?
Vælg 1 svar:

Opgave 4
Katrine forsøger at bestemme limx→−34x+28−4x+3.
Efter at have brugt substitution får hun 00.
Hvilke metode vil nok være bedst for Katrine at prøve?
Vælg 1 svar:

Brug af flowdiagrammet i opgaver

Opgave 5
Jyttes lærer gav hende flowdiagrammet vist nedenfor og bad hende bestemme limx→5f(x), hvor f(x)=x2−25x2−10x+25.
Udregning af grænseværdien for f af x, når x nærmer sig a. Et flowdiagram har valgmulighederne fra A til H. Man starter ved A Substitution. Prøv at udregne grænseværdien med udtrykket som det er. Udregning af f a giver tre muligheder. Når f af a giver b divideret med 0, hvor b er ikke nul går man til valgmulighed B Asymptote. Formentlig har funktionen en asymptote. Når f af a giver b, hvor b er et reelt tal, går man til valgmulighed C Grænseværdi. Formentlig har man udregnet grænseværdien b. Når f af a giver 0 divideret med 0 går man til valgmulighed D. Udefineret form. Fra valgmulighed D kan man forsøge at omskrive udtrykket med tre metoder. Valgmulighed E faktorisering. Valgmulighed F: Rationalisering. Valgmulighed G: trig regneregler. Uanset om man vælger E, F eller G, så prøver man at udregne grænseværdien med det nye udtryk og går tilbage til A, Substitution. Hvis man efter D ikke kan omskrive udtrykket går man til valgmulighed H. Tilnærmelse. Når alt andet fejler, lav en tilnærmelse af grænseværdien med grafer eller tabeller.
Træk i kortene, så de trin Jytte skal bruge for at bestemme grænseværdien anbringes i korrekt rækkefølge.
A. Substitution
B. Asymptote
C. Grænseværdi
D. Udefineret form
E. Faktorisering
F. Rationalisering
G. Trig regneregler
H. Tilnærmelse

Opgave 6
Flemmings lærer gav ham flowdiagrammet vist nedenfor og bad ham bestemme limx→3f(x), hvor f(x)=2x−5−1x−3.
Udregning af grænseværdien for f af x, når x nærmer sig a. Et flowdiagram har valgmulighederne fra A til H. Man starter ved A Substitution. Prøv at udregne grænseværdien med udtrykket som det er. Udregning af f a giver tre muligheder. Når f af a giver b divideret med 0, hvor b er ikke nul går man til valgmulighed B Asymptote. Formentlig har funktionen en asymptote. Når f af a giver b, hvor b er et reelt tal, går man til valgmulighed C Grænseværdi. Formentlig har man udregnet grænseværdien b. Når f af a giver 0 divideret med 0 går man til valgmulighed D. Udefineret form. Fra valgmulighed D kan man forsøge at omskrive udtrykket med tre metoder. Valgmulighed E faktorisering. Valgmulighed F: Rationalisering. Valgmulighed G: trig regneregler. Uanset om man vælger E, F eller G, så prøver man at udregne grænseværdien med det nye udtryk og går tilbage til A, Substitution. Hvis man efter D ikke kan omskrive udtrykket går man til valgmulighed H. Tilnærmelse. Når alt andet fejler, lav en tilnærmelse af grænseværdien med grafer eller tabeller.
Træk i kortene, så de trin Flemming skal bruge for at bestemme grænseværdien anbringes i korrekt rækkefølge.
A. Substitution
B. Asymptote
C. Grænseværdi
D. Udefineret form
E. Faktorisering
F. Rationalisering
G. Trig regneregler
H. Tilnærmelse

Vil du deltage i samtalen?

Log ind
Ingen opslag endnu.
Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.