If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Hvis du sidder bag et internet-filter, skal du sikre, at domænerne *. kastatic.org og *.kasandbox.org ikke er blokeret.

Hovedindhold

Emne: (AP® ︎ Differentialregning BC > Emne 1

Modul 1: Definition af grænseværdier og bruge af notation for grænseværdier
Matematik
AP® ︎ Differentialregning BC
Grænseværdier og kontinuitet
Definition af grænseværdier og bruge af notation for grænseværdier
© 2024 Khan AcademyBrugerbetingelserFortrolighedspolitikCookiemeddelelse

Introduktion til grænseværdier

Google Classroom
Grænseværdier beskriver, hvordan en funktion opfører sig tæt ved et punkt, i stedet for i punktet. Denne idé er grundlaget for al differentialregning og integralregning.
For at forstå, hvad grænseværdier er, lad os se på et eksempel. Vi starter med funktionen f(x)=x+2.
Et koordinatsystem med mærkede markeringer for hver 1 fra 0 til 8. Funktion f er afbildet. Grafen er en ret linje, der starter i 0 komma 2 og går op gennem 2 komma 4, 4 komma 6 og ender i 7 komma 9.
Grænseværdien for f ved x=3 er den værdi f nærmer sig, når vi kommer tættere på og tættere på x=3. Grafisk svarer det til den y-værdi, vi nærmer os, når vi på grafen for f kigger tættere og tættere på punktet, hvor x=3.
For eksempel, hvis vi starter i punktet (1,3) og nærmer os x=3 på kurven, så bliver vores y-værdi (funktionsværdien) virkelig tæt på 5.
Grafen for funktion f er animeret. Et punkt bevæger sig opad på kurven fra 1 komma 3 til 2,99 komma 4,99.
Lavet med Geogebra.
Hvis vi i stedet starter i punktet (5,7) og går til venstre, indtil vi kommer rigtig tæt på x=3, så vil y-værdien igen være virkelig tæt på 5.
Grafen for funktion f er animeret. Et punkt bevæger sig nedad på kurven fra 5 komma 7 til 3,01 komma 5,01.
Lavet med Geogebra.
Derfor siger vi, at grænseværdien for f ved x=3 er 5.
Et koordinatsystem med mærkede markeringer for hver 1 fra 0 til 8. Funktion f er afbildet. Grafen er en ret linje, der starter i 0 komma 2 og går op gennem 2 komma 4, 4 komma 6 og ender i 7 komma 9. To små pile langs grafen peger fra venstre og højre mod 3 komma 5.
Du spørger måske dig selv, hvad forskellen mellem grænseværdien for f ved x=3 og værdien for f ved x=3 er, dvs. f(3).
Grænseværdien for f(x)=x+2 ved x=3 er i dette tilfælde lig med værdien f(3), men det er ikke altid tilfældet. Lad os kigge på funktion g. Denne funktion er den samme som f på alle måder, bortset fra at den er udefineret ved x=3.
Et koordinatsystem med mærkede markeringer for hver 1 fra 0 til 8. Funktion g er afbildet. Grafen er en ret linje, der starter i 0 komma 2 og går op gennem 2 komma 4 og 3 komma 5, der er vist som en åben cirkel og 4 komma 6 og ender i 7 komma 9.
Ligesom f er grænseværdien for g ved x=3 lig med 5. Det er fordi vi stadig kan komme meget tæt på x=3 og funktionens værdier vil komme meget tæt på 5.
Et koordinatsystem med mærkede markeringer for hver 1 fra 0 til 8. Funktion g er afbildet. Grafen er en ret linje, der starter i 0 komma 2 og går op gennem 2 komma 4 og 3 komma 5, der er vist som en åben cirkel og 4 komma 6 og ender i 7 komma 9. To små pile langs grafen peger fra venstre og højre mod 3 komma 5.
Så grænseværdien for g ved x=3 er lig med 5, men værdien af g ved x=3 er udefineret! De to er ikke det samme!
Det er det utrolige ved grænseværdier; de afhænger ikke af den faktiske værdi for funktionen ved grænsen. De beskriver, hvordan funktionen opfører sig, når det kommer tæt på grænsen.
Opgave 1
Dette er grafen for h.
Hvad er en rimelig vurdering af grænseværdien for h ved x=3?
Vælg 1 svar:

Vi bruger en særlig notation, når vi taler om grænseværdier. Vi skriver grænseværdien for f, når x nærmer sig 3 som:
"Grænseværdien for…""… funktionen f…"↘↙limx→3f(x)↗"…når x nærmer sig 3."
Symbolet lim (latin; limes) betyder, at vi finder en grænseværdi for noget.
Udtrykket til højre for lim er det udtryk, vi finder grænseværdien for. I vores tilfælde er det funktionen f.
Udtrykket x→3, der kommer under lim, betyder, at vi finder grænseværdien for f, når x nærmer sig 3.
Opgave 2
Dette er grafen for f.
Hvad er en rimelig vurdering af limx→6f(x) ?
Vælg 1 svar:

Opgave 3
Hvilket udtryk repræsenterer grænseværdien for x2, når x nærmer sig 5?
Vælg 1 svar:

Med grænseværdier vil vi uendeligt tæt på.

Hvad mener vi, når vi siger "uendeligt tæt på"? Lad os tage et kig på værdierne af f(x)=x+2, når x-værdierne kommer meget tæt på 3. (Husk: da vi har at gøre med grænseværdier, er vi ligeglade med f(3) selv.)
xf(x)
2,94,9
2,994,99
2,999⏟tæt på 34,999⏟tæt på 5
Vi ser, når x-værdierne er mindre end 3, men nærmer sig, så kommer værdierne af f tættere og tættere på 5.
xf(x)
3,15,1
3,015,01
3,001⏟tæt på 35,001⏟tæt på 5
Vi ser også, når x-værdierne er større end 3, men nærmer sig, så kommer værdierne af f tættere og tættere på 5.
Det tætteste vi kom på 5 var f(2,999)=4,999 og f(3,001)=5,001, som ligger 0,001 fra 5.
Men vi kan komme tættere på, hvis vi vil. Hvis vi vil være 0,00001 fra 5, så kunne vi vælge x=3,00001 og få f(3,00001)=5,00001.
Det kunne vi fortsætte med - uendeligt. Vi kan altid komme tættere på 5. Men det er præcis, hvad "uendeligt tæt på" handler om! Da det at være "uendeligt tæt på" i virkeligheden er umuligt, mener vi med limx→3f(x)=5, at uanset hvor tæt vi ønsker at komme til 5, så er der en x-værdi meget tæt på 3, som vil være det.
Hvis du synes det er lidt svært at forstå, så vil dette måske hjælpe; hvordan ved vi, at der er uendelig forskellige heltal? Det er jo ikke fordi vi har talt dem alle og er kommet til uendelig. Vi ved, at der er uendelig mange, fordi der for ethvert heltal findes et andet heltal, der er endnu større end det. Og et større end det, og et større end det.
I grænseværdier forsøger vi ikke at få noget uendeligt stort, men at komme uendeligt tæt på. Når vi siger limx→3f(x)=5, mener vi, at vi altid kan komme tættere og tættere på 5.
Opgave 4
xg(x)
−7,16,32
−7,016,1
−7,0016,03
−6,9996,03
−6,996,1
−6,96,32
Hvad er en rimelig vurdering af limx→−7g(x)?
Vælg 1 svar:

Endnu et eksempel: limx→2x2

Lad os analysere limx→2x2, som er grænseværdien for udtrykket x2, når x nærmer sig 2.
Et koordinatsystem med mærkede markeringer for hver 1. På x aksen fra minus 3 til 5 og på y aksen fra 0 til 8. Grafen y er lig x i anden er afbildet. Den går gennem minus 3 komma 9, minus 1 komma 1, 0 komma 0, 1 komma 1 og 3 komma 9.
Vi kan se, hvordan y-værdierne på grafen, når vi nærmer os punktet ved x=2, kommer tættere og tættere på 4.
Grafen af y = x kvadreret er animeret med et punkt som bevæger sig op kurven fra 1,5 komma 2,25 til 1,99 komma 3,96 og derefter bevæger sig ned kurven fra 2,5 komma 6,25 til 2,01 komma 4,04.
Lavet med Geogebra.
Vi kan også se på tabelværdierne:
xx2
1,93,61
1,993,9601
1,999⏟tæt på 23,996001⏟tæt på 4
xx2
2,14,41
2,014,0401
2,001⏟tæt på 24,004001⏟tæt på 4
Vi kan komme så tæt på 4, som vi ønsker. Antag, at vi ønsker at være mindre end 0,001 fra 4. Hvilken x-værdi tæt på x=2 kan vi vælge?
Lad os prøve x=2,001:
2,0012=4,004001
Det er mere end 0,001 væk fra 4. Lad os prøve x=2,0001:
2,00012=4,00040001
Det var tæt nok! Ved at benytte x-værdier, der er tættere på x=2, kan vi komme endnu tættere på 4.
Vi konkluderer, at limx→2x2=4.

En grænseværdi skal være den samme fra begge sider.

Lad os vende tilbage til f(x)=x+2 og limx→3f(x). Her kan vi se, hvordan vi nærmer os 5, uanset om x-værdierne vokser mod 3 (dette kaldes "nærmer sig fra venstre") eller om de falder mod 3 (dette kaldes "nærmer sig fra højre").
En koordinatsystem med mærkede markeringer for hver 1 fra 0 til 8. Funktion f er afbildet. Grafen er en ret linje, der starter i 0 komma 2 og går op gennem 2 komma 4, 4 komma 6 og ender i 7 komma 9. En pil mærket at nærme sig fra venstre går langs grafen og peger fra venstre mod 3 komma 5. En pil mærket at nærme sig fra højre går langs grafen og peger fra højre mod 3 komma 5.
Lad os i stedet kigge på funktionen h. Den y-værdi vi nærmer os, når x-værdierne nærmer sig x=3 afhænger af, om vi gør det fra venstre eller fra højre.
Funktionen h er tegnet. Begge akser har mærkede markeringer for hver 1 fra 0 til 8. Grafen består af 2 rette linjer. Den første linje går gennem 0 komma 1, går opad og ender ved en åben cirkel i 3 komma 4. Den anden linje starter ved en lukket cirkel ved 3 komma 6, går opad gennem 6 komma 9.
Når vi nærmer os x=3 fra venstre, nærmer funktionen sig 4. Når vi nærmer os x=3 fra højre, nærmer funktionen sig 6.
Funktionen h er tegnet. Begge akser har mærkede markeringer for hver 1 fra 0 til 8. Grafen består af 2 rette linjer. Den første linje går gennem 0 komma 1, går opad og ender ved en åben cirkel i 3 komma 4. Den anden linje starter ved en lukket cirkel ved 3 komma 6, går opad gennem 6 komma 9. En pil mærket at nærme sig fra venstre langs den første linje peger mod den åbne cirkel. En pil mærket at nærme sig fra højre langs den anden linje peger mod den lukkede cirkel.
Når en grænseværdi ikke nærmer sig den samme værdi fra begge sider, siger vi, at grænseværdien ikke eksisterer.
Opgave 5
Dette er grafen for funktionen g.
Hvilke af grænseværdierne findes?
Vælg alle svar der passer:

Vil du deltage i samtalen?

Log ind
Ingen opslag endnu.
Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.