Grænseværdier for funktionskombinationer: stykkevis funktioner

Vi skal finde disse tre forskellige grænseværdier. Jeg opfordrer dig som altid til, at sætte videoen på pause og selv prøve inden vi laver den sammen. Når du laver den første prøver du måske at finde grænseværdien for f(x), når x nærmer sig -2 og så grænseværdien for g(x), når x nærmer sig -2 og dernæst lægge de to grænseværdier sammen. Men du vil hurtigt løbe ind i et problem, fordi når du bestemmer grænseværdien for f(x), når x nærmer sig -2, så når x nærmer sig -2 fra venstre, synes den at nærme sig 1, men når x nærmer sig -2 fra højre, så ser det ud til vi nærmer os 3. Grænseværdien for f(x), når x nærmer sig -2, ikke eksisterer, og det samme gælder for g(x). Når vi nærmer os fra venstre, så nærmer vi os 3. Hvis vi nærmer os fra højre, så ser det ud til vi nærmer os 1. Det viser sig, at denne grænseværdi alligevel kan eksistere, når blot grænseværdien for f(x) + g(x), når x nærmer sig -2 fra venstre eksisterer og er lig med grænseværdien for f(x) + g(x), når x nærmer sig -2 fra højre Hvad er disse? Når vi nærmer os -2 fra venstre, så synes f(x) at nærme sig 1 og g(x) synes at nærmes sig 3. Det synes at vi nærmer os 1 og 3. Summen nærmer sig 4. Når vi kommer fra højre, så synes f(x) at nærme sig 3 og g(x) synes at nærme sig 1. Det er igen lig 4. Da venstre og højre grænseværdi nærmer sig det samme så eksisterer denne grænseværdi og den er lig 4. Lad os lave næste eksempel, hvor x nærmer sig 1. Vi gør præcis det samme. Når du kigger på grænseværdierne for f(x) fra venstre og højre, når x nærmer sig 1, så eksisterer grænseværdien ikke. Men grænseværdien for summen, når x nærmer sig 1, kan eksistere. Lad os prøve. Hvad er grænseværdien for f(x) + g(x), når x nærmer sig 1 fra venstre? For f(x), når vi nærmer os 1 fra venstre, så synes den at nærme sig 2. Nu gør jeg det lidt hurtigt. Og g(x), når vi nærmer os 1 fra venstre, synes at nærme sig 0. Så den vil nærme sig 2 + 0, som er 2. Grænseværdien for f(x) + g(x), når x nærmer sig 1 fra højre, er lig... f(x), når vi nærmer os 1 fra højre, synes at nærme sig -1. Og g(x), når vi nærmer os 1 fra højre, synes at nærme sig 0. Det synes at vi nærmer os -1. Venstre og højre grænseværdier nærmer sig ikke samme værdi, så grænseværdien eksisterer ikke. Sidst men ikke mindst, når x nærmer sig 1, for f(x) ⋅ g(x). Vi gør det samme. Grænseværdien for f(x) ⋅ g(x), når x nærmer sig 1 fra venstre Lad os finde værdierne. Vi kan se, når den nærmer sig 1 fra venstre, så nærmer vi os 2. For g(x), når vi nærmer os 1 fra venstre, så nærmer vi os 0. Vi nærmer os 2 ⋅ 0, som er 0. Når x nærmer sig 1 fra højre for f(x)⋅g(x). Vi ved allerede, når vi nærmer os 1 fra højre, for f(x), så nærmer vi os -1. men g(x), når vi nærmer os 1 fra højre, synes at nærme sig 0, så dette er igen 0 og grænseværdien eksisterer. Vi får samme grænseværdi, når vi nærmer os fra venstre og højre. Den er lig 0. Det var nogle ret interessante eksempler, fordi nogle gange, når du tror den kombinerede grænseværdi ikke eksisterer, hvor summen eller produktet ikke eksisterer, så lavede vi her to eksempler, der viser at det ikke altid er tilfældet.