Grænseværdier for trigonometriske funktioner

I denne video skal vi se på grænseværdier for trigonometriske funktioner. Lad os starte med en, der er forholdsvis ligetil. Lad os finde grænseværdien, når x nærmer sig 𝜋, for sin(x). Sæt videoen på pause og se om du kan lave den. Både sin(x) og cos(x) er defineret for alle reelle tal så deres definitionsmængde er alle reelle tal. Du kan indsætte ethvert reelt tal for x og du får et output. Det er defineret. De er også kontinuerte i hele deres definitionsmængde. Faktisk er alle trigonometriske funktioner kontinuerte i deres definitionsmængde. Fordi sin(x) er kontinuert og defineret for sin(𝜋), så kan vi sige at dette er det samme som sin(𝜋) Og sin(𝜋) er, som du måske allerede ved, lig 0. Vi kan gøre det samme for cos(x). Hvad er grænseværdien, når x nærmer sig --jeg vælger blot en vilkårlig vinkel-- x nærmer sig 𝜋/4, for cos(x)? Igen, cos(x) er defineret for alle reelle tal. x kan være ethvert reelt tal, Den er også kontinuert. For cos(x) bliver denne grænseværdi blot cos(𝜋/4), som er lig √2/2. Det er en af disse vinkler, det er godt at kende sinus og cosinus for. Hvis du bruger grader, så er det en 45 graders vinkel. Generelt for sinus eller cosinus, så er grænseværdien, når x nærmer sig a, for sin(x) lig sin(a). Dette er sandt for ethvert reelt tal a. Jeg kan lave en lignende sætning for cos(x). Grænseværdien, når x nærmer sig a, for cos(x) er lig cos(a). Jeg bliver ved med at sige dette, men det er fordi, deres definitionsmængde er alle reelle tal og de er defineret for ethvert reelt tal og de er kontinuerte i hele deres definitionsmængde. Lad os bruge en lidt vanskeligere trigonometrisk funktion, der ikke er defineret for alle reelle tal, som har lidt begrænsninger på sin definitionsmængde. Lad os finde grænseværdien, når x nærmer sig 𝜋, for tan(x). Hvad er den lig? Det er det samme som grænseværdien, når x nærmer sig 𝜋, for tan(x) er lig sin(x)/cos(x). Begge disse er defineret for 𝜋, så vi kan blot lave substitution med 𝜋. Men vi må sikre os, at vi ikke får 0 i nævneren, da den så er udefineret. Vi får sin(𝜋)/cos(𝜋), som er 0/-1, hvilket er helt fint. Hvis den var -1/0, så var vi i knibe. Men dette er blot lig 0. Så den er okay. Hvis jeg nu spurgte, hvad er grænseværdien, når x nærmer sig, 𝜋/2 for tan(x)? Sæt videoen på pause og prøv selv. Lad os se på det. Dette er grænseværdien, når x nærmer sig 𝜋/2, for sin(x)/cos(x). sin(𝜋/2) er 1 men cos(𝜋/2) er 0. Hvis du blot laver substitution, så får du 1/0. Men 𝜋/2 er ikke i definitionsmængden for tan(x). Det viser sig, at denne grænseværdi ikke eksisterer. Generelt, når vi bruger sinus, cosinus, tangens eller cosekans, sekans eller cotangens, hvis vi skal finde grænseværdien i et punkt i deres definitionsmængde, så er grænseværdien det samme som funktionsværdien i det punkt. Hvorimod grænseværdien i et punkt, der ikke er i deres definitionsmængde, formentlig ikke eksisterer. Her er der ingen grænseværdi. Det er fordi 𝜋/2 ikke er i definitionsmængden af tan(x). Hvis du afbilder grafen for tan(x), så vil du se en lodret asymptote ved 𝜋/2. Lad os lave en mere. Hvad er grænseværdien, når x nærmer sig 𝜋, for cot(x)? Sæt videoen på pause og se, om du kan finde ud af, hvad den er. Man kan sige, at cot(x) er 1/tan(x), så den er cos(x)/sin(x). Vi skal huske, "grænseværdien, når x nærmer sig 𝜋," for dette. Er 𝜋 i definitionsmængden af cot(x)? Nej, hvis du laver en substitution med 𝜋, så får du -1/0. 𝜋 ligger ikke i definitionsmængden af cot(x). Hvis du afbilder den vil du se en lodret asymptote ved 𝜋. Så vi har ingen grænseværdi. 𝜋 ligger ikke i definitionsmængden, så formentlig har vi ingen grænseværdi. Når den værdi vi finder grænseværdien ved ligger i definitionsmængden af den trigonometriske funktion, så er der en defineret grænseværdi. sinus og cosinus er defineret for alle reelle tal og de er kontinuerte for alle reelle tal. Du kan finde en grænseværdi til hvad som helst for dem, og den vil være defineret og den vil være funktionsværdien i det punkt.