Grænseværdi med faktorisering

Lad os sige, at f(x) = x² + x - 6 / x - 2 . Vi vil gerne kende grænseværdien for f(x), når x nærmer sig 2. Det første du måske vil gøre, når du ser noget sådan, er, hvad er f(2)? Det vil ikke altid være grænseværdien, selv hvis den er defineret, men det er en god start, til at se om noget rimeligt kommer frem. Hvis vi blot udregner f(2), så får vi i tælleren 2² + 2 - 6, som er 4 + 2, som er 6 - 6, så du får 0 i tælleren. og du får 0 i nævneren. Funktionen er ikke defineret ved x = 2. f er ikke defineret. Så dette er ikke lige til. Selv hvis vi havde fået en værdi, hvis det er en kontinuert funktion så vil grænseværdien være det samme som funktionsværdien men det er ikke nødvendigvis tilfældet. Vi kan meget tydeligt se, at funktionen ikke er defineret her. Lad os se, om vi kan reducere en smule og så forsøge at tegne den. En ting du måske har set er, at du kan faktorisere det øverste udtryk. Lad os omskrive det øverste udtryk. Vi går til bage til vores algebra viden. To tal med et produkt på -6 og en sum på +3, det kan være +3 og -2. Dette kan skrives som (x + 3)(x - 2) over (x - 2). Når x ikke er lig 2, så kan vi fjerne disse to faktorer. Dette er lig x + 3 for alle x undtagen x er lig 2. Der er en anden måde at skrive det på. Vi kan omskrive vores f(x) til --det gør vi med blåt-- og det er helt den samme funktion f(x) = x + 3, når x ikke er lig 2 og tilføje den er udefineret ved x er lig 2. Med denne definition bliver det meget tydeligere, hvordan vi kan tegne f(x). Lad os prøve. Det er ikke engang tæt på en ret linje, Dette er meget bedre. Lad os kalde y-aksen for y er lig f(x). og her over laver jeg en vandret linje, min x-akse. Når f(x) er defineret som f(x) = x + 3, så har vi 1, 2, 3 og vi har skæring med y-aksen i 3 og en hældning på 1. Den er defineret for alle x undtagen x er lig 2. Dette er x er lig 1 og x er lig 2. Når x er lig 2, så er den udefineret. Den er udefineret lige her. f(x) ser således ud. Lad os benytte det til at svare på vores spørgsmål. Hvad er grænseværdien for f(x), når x nærmer sig 2. Vi kan se det rent grafisk. x nærmer sig 2 fra værdier mindre end 2. Her er x lig 2, så hvis vi siger 1,7 , så er vores f(x) lige her. Hvis vi har 1,9, så er f(x) lige her. Den synes at nærme sig denne værdi lige her. På samme måde, når vi nærmer os 2 fra større værdier. Vi kan prøve 2,5 så er f(x) lige her. Hvis vi er tættere på 2, så er f(x) her. Igen så synes vi at nærmer os denne værdi. Eller når vi kører langs denne linje fra den positive retning, så nærmer vi os denne værdi for f(x) og hvis vi kører på linjen fra den negative retning, fra værdier mindre end 2, så synes vi at nærme os denne værdi. Det er værdien af x + 3, hvis x er lig 2. Værdien bliver derfor lig 5. Hvis vi blot ser på det grafisk. Vi har tegnet en linje med en hældning på 1 og en skæring med y-aksen ved 3 og denne værdi er 5. Nu kan vi også prøve at bestemme den numerisk. Lad os gøre det. Dette er funktions definition, som er helt magen til den oprindelige definition. Lad os prøve værdier, så x er tættere og tættere på 2. Lad os prøve værdier mindre end 2. 1,99999 og det er næsten indlysende. 1,99999 + 3 er ret tæt på 5. Hvis jeg tilføjer flere 9'ere, så det er endnu tættere på 2, så kommer vi endnu tættere på 5. Hvis vi nærmer os 2 fra den positive retning, så kommer vi igen tættere og tættere på 5. Hvis vi er endnu tættere på 2, så kommer vi endnu tættere på 5. Uanset om vi løser det numerisk eller grafisk så er det ret tydeligt at grænseværdien her er lig 5.