Statistik og sandsynlighed

Sandsynlighed er chancen for at noget vil ske ud fra, hvad vi ved om situationen. Vi angiver sandsynliged som brøker, decimaltal eller i procent. Hvis vi slår plat og krone med en mønt, så ved vi, at der er to mulige udfald: plat eller krone. Hvis mønten er fair, så er der lige stor sandsynlighed for begge udfald. Sandsynligheden for at få krone er derfor ${\displaystyle \frac{1}{2}}$‍, $0,5$‍ eller $50\mathrm{\%}$‍. Det kan vi også skrive som $P(\text{krone})={\displaystyle \frac{1}{2}}$‍, $P(\text{krone})=0,5$‍ eller $P(\text{krone})=50\mathrm{\%}$‍.

For at bestemme sandsynligheden for en hændelse skal vi kende antallet af mulige udfald og hvor mange af udfaldende, der er guntige for hændelsen. Hvis alle udfald er lige sandsynlige, så er sandsynligheden for en hændelse forholdet mellem antallet af guntige udfald og mulige udfald. Hvis vi slår med en terning, så er der seks mulige udfald: $1$‍, $2$‍, $3$‍, $4$‍, $5$‍, $6$‍. Hvis vi vil finde sandsynligheden for at slå et lige tal, så skal vi tælle antallet af udfald, der er lige: $2$‍, $4$‍, $6$‍. Der er tre gunstige udfald, så sandsynligheden for at slå et lige tal er ${\displaystyle \frac{3}{6}}$‍, $0,5$‍ eller $50\mathrm{\%}$‍. Det kan vi også skrive som $P(\text{lige})={\displaystyle \frac{3}{6}}$‍, $P(\text{lige})=0,5$‍ eller $P(\text{lige})=50\mathrm{\%}$‍.

Prøv selv i øvelsen Simpel sandsynlighedsregning.

En sandsynlighedsmodel viser alle de mulige udfald i en givet situation samt sandsynligheden for hvert udfald. En sandsynlighedsmodel kan være en tabel, en liste eller et tælletræ.

Da en sandsynlighedsmodel viser alle mulige udfald, så skal summen af alle sandsynligheder i modellen altid være præcis $1$‍ eller $100\mathrm{\%}$‍.

Her er en tabel, der viser udfaldene, når vi slår plat eller krone med to mønter:

Tabellen viser, der er fire mulige udfald: KK, KP, PK, PP. Sandsynligheden for alle fire udfald er ${\displaystyle \frac{1}{4}}$‍, $0,25$‍ eller $25\mathrm{\%}$‍. Vi kan bruge tabellen til at svare på spørgsmål som: Hvad er sandsynligheden for, at begge mønter viser krone? Hvad er sandsynligheden for, at mindst en af mønterne viser plat? Hvad er sandsynligheden for, at begge mønter viser det samme?

Prøv selv i øvelsen Sandsynlighedsmodeller.

En sammensat hændelse er en hændelse, der består af to eller flere simple hændelser. En simpel hændelse kan være at slå med en terning eller slå plat eller krone med en mønt. Når du gør dem samtidig, så er det en sammensat hændelse. Udfaldsrummet for denne hændelse er vist nedenfor:

For at finde frem til udfaldsrummet, så kombinerede vi hvert udfald for den ene hændelse med hvert udfald for den anden hændelse. Alle mulige udfald er vist i tabellen.

Tabellen viser, at udfaldsrummet for denne sammensatte hændelse består af $12$‍ mulige udfald. Vi kan nu bruge udfaldsrummet til at finde sandsynligheden for hver hændelse.

Hvad er sandsynligheden for at slå en $3$‍er og mønten viser krone? Der er kun $1$‍ udfald, der svarer til denne situation: $3$‍, Krone. Så sandsynligheden er ${\displaystyle \frac{1}{12}}$‍, omkring $\mathrm{0,083}$‍ eller omkring $8,3\mathrm{\%}$‍.

Der er derimod $2$‍ forskellige udfald, hvor terningen viser et tal større end $4$‍ og mønten viser plat: $5$‍, Plat; og $6$‍, Plat. Så sandsynligheden er ${\displaystyle \frac{2}{12}}$‍ , eller ${\displaystyle \frac{1}{6}}$‍.

Prøv selv i øvelsen Sandsynlighedsmodeller.

Prøv selv i øvelserne Udfaldsrum for sammensatte hændelser og Sandsynligheder for sammensatte hændelser.

En stikprøve er en process, hvor en lille gruppe vælges ud af en større befolkning eller mængde, kaldet populationen. Man generaliserer dernæst de ting, man lærer ud fra stikprøven, til hele populationen.

Hvis du vil vide, hvor mange elever på din skole der kan lide pizza, så er det upraktisk og tidskrævende at skulle spørge hver enkelt elev. I stedet udvælger du en tilfældig gruppe af elever, det kan være en tilfældig klasse fra hvert klassetrin, og spørger dem om de kan lide pizza. Ud fra resultatet i stikprøven har du en god ide om resultatet for hele skolens elever.

Selve udvælgelsen af den tilfældige gruppe ud af populationen er vigtigt, da det den, vi senere bruger til at generalisere til hele populationen. Denne udvælgelse er imidlertidig ikke nem og har sine begrænsinger. Det er vigtigt, at gruppen repræsenterer populationens forskellighed og mangfoldighed. Det er også vigtigt at tage hensyn til partiskhed, altså hvorvidt der er noget, der vil indflyde resulatet, så det bliver skævt. I det tidligere eksempel kunne det være et problem, hvis du kun spørger elever, der spiser pizza til frokost. De er langt mere sandsynlige til at svare, at de kan lide pizza, end de elever, der ikke spiser pizza til frokost.

Prøv selv i øvelsen Konklusioner ud fra data.