Grænseværdier ved hjælp af den trigonometriske grundrelation

Lad os se, om vi kan finde grænseværdien, når θ nærmer sig 0, for 1 - cos(θ) / 2sin²(θ). Som altid, sæt videoen på pause og se, om du selv kan lave den. Okay, vi er nok først fristet til at sige, dette er det samme som grænseværdien for 1 - cos(θ), når θ nærmer sig 0, over grænseværdien, når θ nærmer sig 0, for 2sin²(θ). Begge disse udtryk kan defineres som en funktion. Hvis du afbilder dem, så er de kontinuert ved θ er lig 0. Grænseværdien er det samme som blot at udregne dem for θ er lig 0. Det er lig med 1 - cos(0) / 2sin²(0). cos(0) er 1 og 1 - 1 er 0, og sin(0) er 0 og kvadratet på det er 0 og du ganger med 2, og du får stadig 0. Så du får 0/0. Vi har den udefineret form. Endnu engang, når du har 0/0, betyder det ikke, at du giver op. Det betyder ikke at grænseværdien ikke eksisterer. Det betyder blot, at der er mere at gøre. Hvis du får et ikke-0 tal divideret med 0, så siger du, okay den grænseværdi eksisterer ikke. Men lad os se, hvad vi kan gøre her, for at se dette udtryk på en anden måde. Lad mig lige bruge nogle andre farver. Lad os sige, dette er f(x). f(x) = 1 - cos(θ) / 2sin²(θ). Lad os se, om vi kan omskrive det, så vi det mindste får noget andet end 0/0. Vi har nogle trig funktioner her, så lad os bruge nogle trig regneregler til at reducere det. Den jeg umiddelbart tænker på, da vi har sin²(θ), er den trigonometriske grundrelation, som er udledt af enhedscirklens definitioner af sinus og cosinus. Vi ved, at sin²(θ) + cos²(θ) = 1. Eller vi ved, at sin²(θ) = 1 - cos²(θ). Vi kan nu omskrive dette. Det er lig 1 - cos(θ) / 2(1 - cos²(θ)) Dette er 1 - cos(θ) og dette er 1 - cos²(θ), så det er ikke helt indlysende, hvordan du kan reducere det, indtil du tænker på den tredje kvadratsætning. Når du ser på dette som a² - b², så ved vi, at vi kan faktorisere det som (a + b)(a - b) Jeg kan derfor omskrive dette til 1 - cos(θ) / 2 (1 + cos(θ))(1 - cos(θ)). Nu er det lidt interessant. Jeg har 1 - cos(θ) i tælleren og jeg har 1 - cos(θ) i nævneren. Nu er vi måske fristet til blot at sige, den går ud med den og fjerne dem, og så er f(x) er lig 1 / --og vi ganger 2 ind-- 2 + 2cos(θ). Er de ikke det samme? Og det er næsten rigtigt. Men f(x) her er defineret, når θ er lig 0, hvorimod den her ikke er defineret, når θ er lig 0. Når θ er lig 0, så får du 0 i nævneren. Det vi skal gøre for, at disse er helt det samme er, at sige, at θ ikke kan være lig 0. Lad os nu se på grænseværdien igen. Vi skal finde grænseværdien, når θ nærmer sig 0, for f(x). Men vi kan ikke bruge indsætning. Hvis vi vil sætte 0 ind her, så står der, at θ ikke kan være lig 0. f(x) er ikke defineret for 0. Dette udtryk er defineret for 0, men der står, at jeg ikke kan indsætte 0 i funktionen. Hvis vi kan finde en anden funktion, der er defineret på præcis samme måde som f(x), bortset fra ved 0, da den er kontinuert ved 0. Lad os sige, g(x) = 1 / 2 + 2cos(θ). Vi ved, at denne grænseværdi er præcis den samme som grænseværdien for g(x), når θ nærmer sig 0 . Igen, disse to funktioner er identiske, bortset fra, at f(x) ikke er defineret for θ er lig 0, men g(x) er. Men grænseværdien, når θ nærmer sig 0, vil være den samme. Og det har vi set i tidligere videoer. Jeg ved flere af jer tænker, Sal, hvorfor laver jeg ikke bare dette algebra og fjerner disse og indsætter 0 for θ. Du kan gøre det og du får svaret, men det er vigtigt at være klar over, du laver matematisk. Hvis du blot gør det, hvis du blot fjerner disse to så har du pludselig et udtryk, der er defineret ved 0, og du har et helt andet udtryk, eller en helt anden funktion. For at sige, at dette er den funktion, du skal finde grænseværdien for, så skal du tilføje denne begrænsning for at sikre den har samme definitionsmængde. Heldigvis for os, så har vi en anden funktion, der er kontinuert i det punkt og som ikke har et hul i dette punkt, som ikke har et diskontinuitetspunkt, så grænseværdierne er de samme. Grænseværdien, når θ nærmer sig 0, for g(x) bliver blot... Da den er kontinuert ved 0, så kan vi bruge indsætning. Den bliver lig g(0), som er lig 1 / 2 + 2 cos(0) .. cos(0) er 1, så det bliver 1 / 2 + 2 som er lig --en lille trommesolo her-- det er lig 1/4. Og vi er færdige.