Ensidet grænseværdi fra grafer

Lad os spørger os selv, hvilken værdi funktionen nærmer sig, når vi nærmer os x er lig 2 fra værdier mindre end x er 2, Som du kan se, når vi nærmer os x er lig 2 x er lig 1 x er lig 1,5 x er lig 1,9 x er lig 1,999 x er lig 1,999999999. Hvad nærmer f(x) sig? Vi kan se, at f(x) synes at nærme sig denne værdi lige her. Den synes at nærme sig 5. Det kan vi skrive som lim f(x), når x nærmer sig 2 og vi kan angive retningen, når x nærmer 2 fra den negative retning ved at skrive et hævet minus tegn efter 2-tallet. Det betyder den retning vi nærmer os fra, ikke -2. Vi nærmer os 2 fra den negative side. Vi nærmer os 2 fra værdier mindre end 2. Vi kommer tættere og tættere på 2 nedefra. 1,9 1,99 1,999999 Når x kommer tættere og tættere på, hvad nærmer f(x) sig? Vi kan se, at den nærmer sig 5. Det indlysende næste spørgsmål er, hvad er grænseværdien for f(x), når x nærmer sig 2 fra værdier større end 2? Det er et lille hævet plustegn. Så vi nærmer os x er lig 2, men vi gør det fra denne side x er lig 3, x er lig 2,5, x er lig 2,1 x er lig 2,01, x er lig 2,0001. Når vi kommer tættere og tættere på 2 og vi kommer fra værdier større end 2. Når x er lig 3, så er f(x) her. Når x er lig 2,5, så er f(x) her. Når x er lig 2,01, så er f(x) lige her. I dette tilfælde kommer vi tættere og tættere på at f(x) er lig 1. Men den bliver aldrig helt lig 1. Den har faktisk en hop diskontinuitet. Men dette synes at være grænseværdien, når vi nærmer os 2 fra værdier større end 2. Dette er lig 1. Når vi snakker om grænseværdier, så kan grænseværdien ved 2 kun eksistere, hvis begge af disse ensidet grænseværdier er ens. I dette tilfælde er de ikke. Når vi nærmer os 2 fra værdier under 2, så synes funktionen at nærme sig 5 og når vi nærmer os 2 med værdier større end 2, så synes funktionen at nærme sig 1. I dette tilfælde er grænseværdien for f(x) når x nærmer sig 2 fra den negative retning ikke lig med grænseværdien for f(x), når x nærmer sig 2 fra den positive retning. I dette tilfælde, hvor de ikke er ens, så eksisterer grænseværdien ikke. Grænseværdien for f(x), når x nærmer sig 2, eksisterer ikke. Den kan kun eksistere, hvis disse to er lig hinanden. Hvis nogen nu spørger, hvad er grænseværdien for f(x), når x nærmer sig 4? Vi kan se på de to ensidet grænseværdier. Den ensidet grænseværdi nedefra og den ensidet grænseværdi oppe fra. Lad os se. Grænseværdien for f(x), når x nærmer sig 4 nedefra --lad mig tegne det-- når x nærmer sig 4 nedefra? Når x er lig 3, hvad er så f(3)? Den er -2. f(3,5) er lig her. f(3,9) er lige her og her er f(3,999). Vi kommer tættere og tættere på funktionsværdien -5. Så grænseværdien, når vi nærmer os 4 nedefra, den ensidet grænseværdi fra venstre, er -5. Hvad med grænseværdien for f(x), når x nærmer sig 4 ovenfra? Fra værdier større end 4. Vi gør det samme. f(5) er lig her. f(4,5) er her omkring. f(4,1) er her og f(4,01) er lige her. f(4) er defineret, og vi kommer tættere og tættere på den. Vi kan igen se, at vi nærmer os -5. Selv hvis f(4) ikke var defineret fra begge sider, så nærmer vi os -5. Da grænseværdien fra venstre er lig grænseværdien fra højre da de to er ens, og fordi de to er ens, så ved vi, at grænseværdien for f(x), når x nærmer sig 4, er 5. Lad os se på et par eksempler mere. Lad os spørge os selv, hvad er grænseværdien for den nye f(x), når x nærmer sig 8 fra venstre. Når x nærmer sig 8 fra værdier mindre end 8. Hvad bliver det? Jeg opfordrer dig til at sætte videoen på pause og selv prøve. Når x kommer tættere og tættere på 8, når x er 7, så er f(7) her. når x er 7,5, så er f(7,5) her. Det ser ud til, at værdierne for f(x) kommer tættere og tættere og tættere på 3. Grænseværdien for f(x), når x nærmer sig 8 fra den negative side er lig 3. Hvad med den positive side? Hvad er grænseværdien for f(x), når x nærmer sig 8 fra den positive side eller fra højre? Vi kan se, når x er 9, så er dette f(x). Når x er 8,5, så er dette f(8,5). Det ser ud til vi nærmer os f(x) er lig 1. Bemærk at de to grænseværdier er forskellige. Grænseværdien, den tosidet grænseværdi, for f(x) eksisterer ikke, når vi nærmer os 8. Lad mig skrive det. Grænseværdien for f(x), når x nærmer sig 8, da de disse to ikke har samme værdi, eksisterer ikke. Lad os lave endnu et eksempel. Her stiller de os et spørgsmål. Grafen for funktionen f er vist nedenfor Hvad er den ensidet grænseværdi for f(x), når x nærmer sig -2 fra den negative side? Altså -2 fra den negative retning. Vi skal se, hvad der sker, når x nærmer sig -2. Vi kan se, at f(x) ikke er defineret der. Men hvad sker der, når vi nærmer os fra den negative retning, altså fra værdier mindre end -2 eller nærmer os fra venstre? Når vi nærmer os fra venstre, så er f(-4) lige her. Dette er f(-4) f(-3) er lig her f(-2,5) er her. Vi lader til at komme tættere og tættere på f(x) er lig 4, sådan synes det i hvert fald rent grafisk. Grænseværdien for f(x), når x nærmer sig 2 fra den negative retning, er 4. Hvis vi også spørger, hvad grænseværdien for f(x) , når x nærmer sig -2 fra den positive side, så får vi det samme resultat. Når x er 0, så er f(x) lige her. Når x er lig 1, så er f(x) lige her Når x er -1, så er f(x) her. Når x er -1,9, så er f(x) her. Vi kommer tættere og tættere på 4. Da den venstre ensidet grænseværdi og den højre ensidet grænseværdi har samme værdi, fordi vi nærmer os det samme, så kan vi sige, at grænseværdien for f(x) når x nærmer sig -2 i begge retninger, da begge ensidet grænseværdier er ens, eksisterer grænseværdien. Og den er lig med 4.