Beviser med transformationer

Dette er et skærmbillede fra øvelsen Linje- og vinkelbeviser på Khan Academy. Jeg tænkte det ville være en god ide, at få lidt øvelse i at lave beviser for linjer og vinkler og der skal bruges både parallelforskydninger og andre transformationer. Lad os se på, hvad de fortæller os. Der står, linje AB og linje DE er parallelle linjer. Okay. Foretag en parallelforskydning, der viser at tilsvarende vinkler altid er kongruente. Vælg den mulighed, der forklarer beviset. Okay, lad os se, hvad vi har. Der står, foretag en parallelforskydning, der viser, at tilsvarende vinkler er kongruente. Vælg dernæst den mulighed der forklarer beviset. De har valgt to tilsvarende vinkler. Du kan se, at den nederste venstre vinkel er mærket fi, ɸ. θ er den nederste venstre vinkel her. De er tilsvarende vinkler. Linje FB er en transversal. De har fortalt os, at linjerne AB og DE er parallelle linjer. Vi skal bevise, at disse to har den samme størrelse. Det kan man gøre geometrisk på flere måder. Det har vi gjort i flere Khan Academy videoer. Her skal vi bruge en parallelforskydning. Lad os prøve. Jeg trykker på knappen for parallelforskydning og så kan jeg flytte den rundt. Se, hvordan jeg kan flytte punkterne og dermed disse skæringspunkter. Det punkt, hvor min markør er nu, er punkt D Jeg parallelforskyder det. Nu flytter jeg det over i punkt B. Ved en parallelforskydning bevares vinkelmål. Nå jeg laver denne flytning, så vil θ, størrelsen af vinkel CDF, svarer til størrelsen af denne vinkel. Den har samme vinkelmål som CDF. Jeg har blot parallelforskudt den. Når du flytter D til B, så har den præcis samme størrelse som ɸ. Man kan sige, når jeg flytter punkt D over i B så flyttede jeg faktisk vinkel CDF over i vinkel ABD. Hvilket viser, at disse har samme vinkelmål eller overbevist os selv om, de har samme størrelse. Lad os se, hvilken mulighed der beskriver det. Jeg har problemer med min markør i dag. "Den parallelforskydning der flytter punkt F over i punkt D..." Punkt F over i punkt D. Vi flyttede ikke punkt F til punkt D Det ser allerede lidt tvivlsomt ud. "...laver en ny linje som er en halveringslinje til linjestykke DB." En ny linje? Det ser ikke ud til at være det, jeg lige har gjort. Jeg går ned til den næste. "Da billedet af en linje efter en parallelforskydning er parallel med den oprindelige linje..." Det er sandt. "... vil en parallelforskydning der flytter punkt D over i punkt B..." Det er det, jeg lige gjorde her. "...også flytte vinkel CDF over i ABD." Det er, det jeg gjorde. Jeg flyttede vinkel CDF til vinkel ADB. Det er præcis, det jeg gjorde lige her. "Parallelforskydninger bevarer vinkler, så θ er lig ɸ." Ja, den ser ret god ud. "Den parallelforskydning, der flytter punkt D til E..." Det gjorde jeg ikke. Jeg flyttede ikke punkt D over i punkt E. Det ville ikke hjælpe mig. Men lad os læse videre for at være sikre. "... laver et parallelogram..." Det er sandt. Hvis jeg flytter punkt D til punkt E, så laves dette parallelogram. Men det hjælper os ikke med at vise, at ɸ er lig θ. Den tror jeg heller ikke på. Men det er jo godt, da vi mener den i midten er rigtig. Lad os lave en mere. De siger, at linje AOB -- de kunne blot have sagt linje AB, men jeg tror, de vil være sikre på at vise at punkt O ligger på linjen -- og COD er rette linjer. Godt nok. "Hvilket af følgende udsagn viser, at topvinkler altid er lige store?" Topvinklerne er vinklerne på modsatte side af skæringspunktet. Vinkel AOC og vinkel DOB er for eksempel topvinkler. Når vi skal bevise, de er lige store, så skal deres vinkelmål være ens, så θ skal være lig ɸ. Lad os se, hvilket af disse udsagn, der gør det. "Linjestykke OA er kongruent med OD..." OA er kongruent med OD. Det kan vi ikke vide, da de ikke har sagt det. Så jeg behøver ikke læse resten af den. Den bruger noget jeg ikke ved. Jeg ved ikke, hvor langt D er fra O, så jeg ved ikke om det er samme afstand som A fra O. Vi kan udelukke den første mulighed. Jeg kan stoppe med at læse, da den begynder med et udsagn, om noget vi ikke har fået oplysninger om. Lad os se på den anden mulighed. "Hvis halvlinje OA og halvlinje OC begge drejes 180° omkring punkt O, så flyttes de over i henholdsvis OB og OD. Når to halvlinjer drejes lige meget, så vil vinklen mellem dem ikke ændres og så må ɸ være lig θ." Det ser lovende ud, så lad os gennemgå det langsommere. "Hvis halvlinje OA og halvlinje OC begge drejes 180°..." Når du tager halvlinje OA og drejer den 180°, så kommer den hele vejen herover og peger i den anden retning. Så det flyttes over i halvlinje OB. Det tror jeg på. OA flyttes over i halvlinje OB. Når du drejer halvlinje OC 180°, så flyttes den over i halvlinje OD. Den første del af udsagnet er korrekt. "Hvis halvlinje OA og halvlinje OC begge drejes 180° omkring punkt O, så flyttes de over i henholdsvis halvlinje OB og halvlinje OD." Når man siger henholdsvis betyder det i samme rækkefølge. Halvlinje OA flyttes over i halvlinje OB og halvlinje OC flyttes over i halvlinje OD. Det var det vi så. Halvlinje OA flyttes med en drejning på 180° hele vejen rundt og over i OB og OC flyttes med en drejning på 180° over i OD. Jeg kan lide denne første sætning. "Når to halvlinjer drejes lige meget, så vil vinklen mellem dem ikke ændres..." Ja. Det lyder fornuftigt. "Når to halvlinjer drejes lige meget, så vil vinklen mellem dem ikke ændres..." Når vi drejer begge halvlinjer 180°, så har vi flyttet dem over i OB og OD. Eller man kan sige, at vinkel AOC er flyttet over i vinkel BOD. Vinkelmålet af disse vinkler er ens. Derfor må ɸ være lig θ. Jeg synes rigtig godt om det andet udsagn. Lad os se på det sidste udsagn. "Drejninger bevarer længder og vinkler. AB er kongruent med CD..." Faktisk ved vi ikke, om linjestykke AB er kongruent med CD. Det har de aldrig sagt. Vi ved ikke, hvor langt de er fra hinanden. "så derfor er ɸ = θ." Dette udsagn er en smule suspekt. Så det kan jeg faktisk ikke lide. Jeg vil vælge det andet, som det tog en smule visualisering at finde ud af, Hvis du drejer vinkel AOC 180°, som svarer til at tage dens halvlinjer og drejer dem 180°, så får du vinkel BOD. Vinklen mellem de to halvlinjer, altså vinkelmålet ændres ikke. Så jeg kan godt lige denne anden mulighed.