Det gyldne snit

I denne video skal vi se, om det er muligt, når vi har længden af en snor eller linjestykket b, som vi ser her, at finde en længde a, så forholdet mellem a og b er det samme som forholdet mellem a + b og a, den længere side. Lad os tænke lidt over det. Jeg vil altså se, om jeg kan konstruere linjestykke a, så dette perfekte forhold, som jeg henviser til, så forholdet mellem den lange side og den korte side er lig med forholdet mellem hele siden og den lange side. Lad os antage, at vi kan lave sådan et forhold. Vi kalder forholdet fi, φ, som er et græsk bogstav. Lad os se, hvad vi kan finde ud af, om dette særlige forhold φ. φ = a / b, som er lig (a + b) / a. Vi ved, at (a + b) / a er det samme som a / a + b / a. a / a er 1, og b / a er det reciprokke af a / b, da a / b er φ, så b / a er det samme som 1 / φ. Det er interessant! Vi har nu fundet det særlige forhold. φ er lig med 1 + (1 / φ). Det er da et ret sejt udtryk. Når vi trækker 1 fra på begge sider, får vi, at φ - 1 er lig dets reciprokke. Det er da en ret sej egenskab for et tal. Hvis vi trækker 1 fra det, får vi dets reciprokke. Det ser allerede gådefuldt ud. Dette udtryk er også spændende, fordi vi har defineret φ som 1 + (1 / φ). Vi kan omskrive dette til φ = 1 + 1 / .. I stedet for at skrive φ, så siger vi φ er lig 1 +1 / og i stedet for φ kan vi igen skrive 1 + 1 / .. Jeg kan skrive φ eller vi kan fortsætte. Vi kan fortsætte uendeligt. Vi kan skrive 1 + (1 / 1 + (1 / 1 + ... og fortsætte med samme mønster uendeligt. Det er en rekursiv definition af en variabel, fordi variablen er udtrykt ved sig selv. Det er da en ret sej egenskab. Men lad os forsætte, så vi kan finde ud af, hvad φ er. Hvilken værdi har φ? Dette underlige tal, dette underlige forhold, som vi er ved at undersøge. Lad os se, om vi kan lave dette om til en andengradsligning, som vi kan løse på traditionel vis. Det gør vi nemmest ved at gange begge sider af ligningen med φ. Så får du, at φ φ² = φ + 1 Jeg vil lige indskyde noget, da det her er også spændende. Hvis vi tager kvadratroden af begge sider, får vi φ = √(1 + φ). Vi kan altså igen lave en rekursiv definition. φ = √(1 + .. Jeg kunne skrive φ, men φ er jo lig √(1 + .. Igen kan jeg skrive φ, men φ er jo lig √(1 + .. Vi kan fortsætte sådan her uendeligt. Selv dette er spændende. Det samme tal som kan udtrykkes rekursivt, kan når vi trækker 1 fra udtrykkes som dets reciprokke, kan altså også udtrykkes med en rekursiv kvadratrod, som fortsætter uendeligt. Det her er allerede virkelig gådefuldt. Lad os komme videre. Lad os prøve at finde det her magiske tal eller det her magiske forhold, som vi snakker om. Forholdet kommer af en enkel ide. Forholdet mellem den lange side og den korte side er lig med forholdet mellem summen af siderne og den lange side. Lad os løse ligningen som en traditionel andengradsligning og flytte alt over på venstre side. Vi trækker φ + 1 fra begge sider, og vi får φ² - φ - 1 = 0. Nu kan vi finde φ ved at bruge løsningsformlen, som vi har bevist i andre videoer med kvadratkomplettering. I løsningsformlen skal vi først bruge -b. -b er den negative koefficient for dette led. Lad os skrive koefficienterne. a er 1, koefficienten på dette led. b er -1, koefficienten på det led. c er -1, konstantleddet. Lad os finde løsningerne for φ. Vi skal faktisk kun bruge den positive løsning. I det oprindelige forhold er begge afstande er positive. Vi vil altså kun have de positive løsninger. Vi får φ er lig med -- lad os skifte til orange -- -b, er -(-1), som er 1. +/- √b² -- b² er 1 .. -4ac. a er 1, og c er -1. -4 gange -1 giver +4. Vi får 1 + 4. Det skal alt sammen over 2a. a er 1, så det hele er over 2. Husk, at vi kun vil have de positive løsninger. Dette er lig √5. Hvis vi bruger 1 - √5, ender vi med et negativt tal i tælleren, og vi vil kun have de positive løsninger. Vi har derfor (1 + √5) / 2. Det ser ud til at være et spændende tal. Lad os finde en lommeregner og se, om vi kan udregne de første cifre af dette magiske tal φ. Lad mig hente lommeregneren og udregne det. Du har måske bemærket, at √5 er et irrationelt tal. Derfor er det hele her et irrationelt tal. Det vil jeg bevise i en anden video. Det betyder, at cifrene aldrig gentager sig. De fortsætter uendeligt. Lad os udregne det. Det er 1 + √5 divideret med 2. Det er 1,6180339... Jeg lægger den væk og skriver det ned. Nu bliver det rigtigt interessant og mystisk. Tallet er 1,618033988... og det forsætter uendeligt uden at gentage sig selv Det er et sejt tal. Det er dette forhold og det har alle de seje egenskaber, vi har talt om. Noget andet gådefuldt er, når vi ser på dette igen. Hvad er 1 / φ? Det kan også skrives med et stort fi Φ. Vi ved allerede, at 1 / φ er det samme som φ - 1. Det kan vi løse i hovedet. 1 over 1,618033988 er 0,618033988. Der foregår altså noget meget underligt her. Det reciprokke til et tal er decimalerne efter vi fjerner 1-tallet. Det i sig selv er en mærkelig egenskab. Det bliver dog endnu vildere! Dette tal dukker op alle mulige steder. Som du måske har gættet ud fra videoens titel, kalder vi også φ for det gyldne forhold eller det gyldne snit. Det dukker op alle mulige steder. Det gyldne snit. Det dukker op i kunst, det dukker op i musik, og det dukker op i naturen. I naturen dukker det op blandt enkle principper. Lad os prøve at tegne en perfekt stjerne. Jeg tegner en almindelig stjerne, som den her. Det er en almindelig stjerne. Alle længderne er lige lange. Jeg tegner den lige lidt bedre. Her er en stjerne, som vi også kan kalde et pentagram. Nu sker der noget skørt. Forholdet mellem den pink side og den blå side er det gyldne snit. Forholdet mellem den magenta side og den pink side er også det gyldne snit, som definitionen siger, det skal være. Forholdet mellem den magenta side og den orange side er også det gyldne snit. Det dukker op masser af steder i et pentagram, som det her. Lad os se på en regulær femkant. En regulær femkant er en femkant, hvor alle vinkler er ens og alle sider er ens. En diagonal i en regulær femkant, som denne diagonal. Forholdet mellem denne grønne diagonal eller en af de andre diagonaler og en hvilken som helst af side er det gyldne snit. Det dukker op alle mulige steder. Vi kan lave spændende ting med det gyldne snit. Lad os sige vi har et rektangel, hvor forholdet mellem bredden og højden er det gyldne snit. Lad os prøve det. Lad os sige, at dette er højden og dette er bredden. Vi kalder bredden a og højden b. Forholdet mellem a og b er lig φ. Det er altså 1,61 og så videre. Lad os gå lidt ned. a / b = φ. Det er da et meget pænt rektangel. Lad mig indsætte et kvadrat med sidelængden b. Lad mig lige tegne det lidt bedre. Rektanglet er ikke helt som det skal være. Rektanglet ser nogenlunde sådan her ud. Forholdet mellem bredden og længden eller højden er det gyldne snit. a / b = φ, det gyldne snit. Nu indsætter jeg et kvadrat med sidelængden b. Denne afstand er a - b. Vi har et rektangel med bredden a - b og højden b. Vi har et kvadrat med sidelængden b og derfor har vi et rektangel med højden b og bredden a - b. Ville det ikke være fedt, hvis det forhold også er det gyldne snit? Lad os finde ud af af det. Lad os finde forholdet mellem b og a - b. Forholdet b / (a - b) = 1 / ((a - b) / b). Vi har taget det reciprokke af det. Det er lig med 1 / (a/b - 1). Vi har blot omskrevet det. Det er lig 1 / (φ - 1), da a/b = φ. Hvad er φ - 1? Vi ved, at φ - 1 er 1 / φ. Det er altså lig med 1 / (1 / φ), som blot er φ. Forholdet mellem det mindre rektangels højde og bredde er det gyldne snit. Det tal, der dukker op hele tiden. Vi kan gøre det igen. Vi kan indsætte et kvadrat med sidelængden a-b. Sådan. Der vil igen være et såkaldt gyldent rektangel. Det kan vi igen opdele i et kvadrat og et gyldent rektangel, som vi også kan opdele i et kvadrat og endnu et gyldent rektangel. Lad mig lige lave det lidt bedre. Jeg laver kvadratet heroppe. Et kvadrat med sidelængden a - b. Her har vi et gyldent rektangel. Jeg kan indsætte et kvadrat her, og så har vi endnu et gyldent rektangel. Vi kan indsætte endnu et kvadrat, og får igen et gyldent rektangel. Jeg tror, du kan se, hvor det bær hen. Endnu et kvadrat og et gyldent rektangel. Der laves et sejt design, hvor vi cirkler ind og ind og ind. Når vi tegner en bue, så sker det noget sejt. Når vi laver en bue, der følger disse ting, så får vi et mønster, du måske har set før. Et mønster der ligner det på en nautil, et bløddyr med et sneglelignende hus. Det dukker op mange steder i naturen. Det giver måske god mening, når celler opbygges at bibeholde det samme forhold i forskellige størrelsesforhold. Vi ser også det gyldne snit i kunst. Det kan ses i mange af Leonardo da Vincis malerier. Han sagde aldrig noget om det, men der er mange interessante forhold i hans malerier. Dette er et Salvador Dali-maleri, der hedder "Den sidste nadver". I det maleri har Dali brugt det gyldne snit. Forholdet mellem bredden og højden er det gyldne snit. Maleriet er et gyldent rektangel. Der er alle mulige forhold, som jeg opfordrer dig til, at se på. Forholdet mellem forskelle dele af bordet og hvor de er i billedet. Det gyldne snit er mange steder i maleriet. Han har også lavet femkanter. Vi ved, at forholdet mellem en diagonal i en femkant og siderne i en regulær femkant er det gyldne snit. Dali syntes, det var så sejt. Der er mange sjove ting i maleriet. Hvis vi ser på de to der bukker, og tegner en linje, så har vi igen det gyldne snit. Forholdet mellem linjen og denne linje er det gyldne snit. Det er mange steder i maleriet. Det her er virkelig spændende og jeg opfordrer dig til selv at undersøge det yderligere, fordi det er ret fængslende.