Pythagoras' læresætning i 3D

Vi har her en spændende figur. Noget af den er en kasse. Dimensionerne af denne kasse er 3 enheder høj, 4 enheder bred og 4 enheder lang. Oven på den har vi en ret pyramide. Højden af denne pyramide, når du starter i dens grundflades centrum og du går op til toppen, er 1 enhed. Den er ikke tegnet i korrekt målestoksforold, og perspektivet er en smule skævt. Men vores mål er at bestemme længden af en af disse kanter? Enten den her eller den her. Hvad er længden? Vi kan kalde den x. Jeg opfordrer dig til at sætte videoen på pause og selv prøve at løse det. Husk, dette er en ret pyramide. Derfor er denne røde linje der er 1 enhed lang vinkelret på hele denne flade. Den er vinkelret på den øverste side af kassen. Med det sagt, opfordrer jeg dig til at sætte videoen på pause og se om du kan finde ud af det. Jeg vil give dig et hint. Du skal bruge Pythagoras' læresætning, måske mere end én gang. Okay, jeg går ud fra du selv har prøvet. Lad os lave den sammen. Det vigtige er at indse, at dette punkt ligger halvvejs i denne retning og halvvejs i denne retning. Hele denne længde er 4, så halvvejs er 2 og dette er 2. Sådan. Vi kan dernæst finde ud af, hvad denne længde er. Endnu engang, så er den halvvejs i denne retning. Hvis denne side er 2, og det kan du se her at den er. Dette er en kasse, så denne længde er den samme som denne længde. Hvis hele denne er 2, så er den her 1 og den her er 1. Hvordan hjælper det os? Ved at bruge disse oplysninger bør vi være i stand til finde denne længde. Hvorfor er denne længde interessant? Hvis vi kender den side, der danner en retvinklet trekant, Denne side og denne her er de to kateter i en retvinklet trekant og x bliver hypotenusen. Vi kan blot bruge Pythagoras' læresætning. Hvis vi kan finde den her, så kan vi finde x. Lad os gøre det et trin af gangen. Hvordan finder vi denne længde, som vi kan kalde a? Lad os tegne den i to dimensioner. Når vi kigger på den i to dimensioner, så ser den således ud. Dette er vores side a. Vi ved, at denne side er det halve af denne side, så den er 1. -- lad mig bruge de samme farver -- Den her er den samme som denne. Den har længden 1. Den her er den samme som denne her, som har længden 2. Nu kan vi bruge Pythagoras' læresætning Vi ved, at kvadratet på hypotenusen er lig med kvadratet på 1 plus kvadratet på 2. a² = 1² + 2², som er lig 1 + 4, som er lig 5. Vi kan derfor skrive a² = 5, eller vi kan skrive a er lig kvadratroden af 5. Denne side her er kvadratroden af 5. Nu kan vi bruge den oplysning til at isolere x. Denne trekant, som det kræver en smule øvelse at visualisere korrekt, er en retvinklet trekant. Denne højde med længden 1 er vinkelret på hele denne flade. Lad mig tegne den. Denne side er kvadratroden af 5. Så har vi en højde, der har længden 1. Dette har længden 1. Og vi skal finde x, som er tegnet med orange. Vi skal finde denne x. Endnu engang vi ved, at det er en retvinklet trekant, så vi kan bruge Pythagoras' læresætning. Vi får x² = 1² + (√5)². Vi har derfor x² = 1 + 5. (√5)² er blot 5, så 1 + 5 er 6. Vi har x = √6. Og vi er færdige! Vi har fundet længden af denne side lige her.